【推荐1】【基本图形和结论】在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：（看会下面思路，不写证明过程）

思路：根据全等判定方法（）可证
(1)【方法应用】如图1，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是____________．
(2)【猜想证明】如图2，在四边形中，，点是的中点若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)【拓展延伸】如图3，已知，点是的中点，点在线段上，，若，，求出线段的长．

【推荐2】已知：在中，点在上，连接，点在上，且点为与边垂直平分线的交点．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作于点，，若，，求的面积？

【推荐1】如图，在矩形中，，点以的速度从点向点运动，点以的速度从点向点运动，点同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆．

(1)当时，的半径是            ，与直线的位置关系是           ；
(2)在点从点向点运动过程中，当与直线相切时，求的值；
(3)连接，交于点，如图，当时，求的值．

【推荐2】如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以/秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以/秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设Q点运动的时间为t秒．

（1）若P，Q两点同时出发．
①当四边形为矩形时，直接写出t的值为________；
②若，求t的值；
（2）若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止．则t为时________（直接写出结果）为直角三角形．

【推荐1】已知中，，，点是线段上的动点（点不与点和点重合），点在线段上，线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在上．

(1)如图1，若，请直接写出线段和的数量关系；
(2)如图2，若与不平行．
①请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
②连接，若，，请直接写出线段的长．

【推荐2】（1）如图①，在正方形中，E，F分别是，边上的动点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 　           　；
（2）在图①中，连接分别交和于P，Q两点，求证：；
（3）如图②，在菱形中，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于M，N．当时，猜想，，之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论．