【推荐1】已知：如图①，四边形是正方形，点E在边上，点F在边上，且，连接，记交点为P．

(1)求证：；
(2)如图②，对角线与交于点O，分别与交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接，若， ，求的长．

【推荐1】证明“直角三角形中，角所对的边是斜边的一半．”如图，中，，．
求证：．
   

【推荐2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）连接BF，求证：四边形BCAF是矩形．

【推荐3】如图，在和中，，不动，绕点A旋转，连接，F为的中点，连接．

(1)如图①，当时，求证：；
(2)当时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由；
(3)如图②，若，求的值．

【推荐1】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线：交于点C．

(1)若直线解析式为，求：点C的坐标；

(2)在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当是等腰三角形时P点的坐标．
(3)如图2，作的平分线，若，垂足为E，，P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足分别为M，N，试问的值是否变化，若不变，求出的值；若变化，请说明理由．

【推荐3】如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D．
⑴求证：AC=CD
⑵若AC=2，AO=，求OD的长度．

【推荐1】所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是．

(1)如图①，在中，∠A＝36°，，∠ACB的平分线CD交腰AB于点D．请你根据所学知识证明：点D为腰AB的黄金分割点：
(2)如图②，在中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，，，若点D是AB的黄金分割点，求BC的长，

【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．
   
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若，AE＝1，求劣弧BD的长．

【推荐3】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，连接AD，点E是AD的中点，延长BE至F，使EF=BE，连接AF，CF，BF与AC交于点G，连接DG．

(1)求证：四边形ADCF是矩形．
(2)若AB=5，BC=6，求线段DG的长．