【阅读】求值.
解:设,
将等式①的两边同时乘以2得:,
由得:.
即:.
(1)【运用】仿照此法计算:;
(2)【延伸】如图,将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形,得到左上角一个小正方形为,选取右下角的小正方形进行第二次操作,又得到左上角更小的正方形,依次操作2022次,依次得到小正方形、、、…、,完成下列问题:
①小正方形的面积等于__________;
②求正方形、、、…、的面积和.
解:设,
将等式①的两边同时乘以2得:,
由得:.
即:.
(1)【运用】仿照此法计算:;
(2)【延伸】如图,将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形,得到左上角一个小正方形为,选取右下角的小正方形进行第二次操作,又得到左上角更小的正方形,依次操作2022次,依次得到小正方形、、、…、,完成下列问题:
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22-23七年级上·安徽宿州·期中 查看更多[3]
安徽省宿州市泗县2022-2023学年七年级上学期期中数学试卷(已下线)2022年安徽省蚌埠中考二模数学试卷变式题16-20四川省自贡市自流井区第一中学校2022-2023学年七年级下学期5月月考数学试题
更新时间:2022-12-13 19:48:58
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(1)照此规律搭下去,搭第4个图案需要多少根火柴?
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【推荐2】问题再现:
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.例如:利用图形的几何意义推证完全平方公式.将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个矩形和两个正方形,如图1,这个图形的面积可以表示成:或,∴,这就验证了两数和的完全平方公式.
问题提出:
如何利用图形几何意义的方法推证:,如图2,A表示1个1×1的正方形,即:,B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:B、C、D就可以表示2个2×2的正方形,即:,而A、B、C、D恰好可以拼成一个的大正方形,由此可得:.
(1)尝试解决:请你类比上述推导过程,利用图形几何意义方法推证:___________(要求自己构造图形并写出推证过程).
(2)类比归纳:请用上面的表示几何图形面积的方法探究:___________(要求直接写出结论,不必写出解题过程).
(3)实际应用:图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体,图中大小正方体一共有多少个?为了正确数出大小正方体的总个数,我们可以分类统计,即分别数出棱长是1,2,3和4的正方体的个数,再求总和.例如:棱长是1的正方体有:个,棱长是2的正方体有:个,棱长是3的正方体有:个,棱长是4的正方体有:个,然后利用(3)类比归纳的结论,可得:___________=___________.
(4)图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体,图中大小正方体一共有___________个.
(5)逆向应用:如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中,通过上面的方式数出的大小正方体一共有3025个,那么棱长为1的小正方体一共有___________个.
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【推荐1】阅读下列材料,然后回答问题 .
已知 ,,,,,,….,当为大于1的奇数时,;当为大于1的偶数时,.
(1)求;(用含的代数式表示)
(2)直接写出 ;(用含的代数式表示)
(3)计算:= .
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【推荐2】阅读材料,完成相应任务:“贾宪三角”又称“杨辉三角”,在欧洲则称为“帕斯卡三角”(如图所示),它揭示了(n为非负数)展开式的各项系数的规律.
根据上述规律,完成下列问题:
(1)直接写出_________.
(2)的展开式中a项的系数是__________.
(3)利用上述规律求的值,写出过程.
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【推荐3】(1)将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上,如图1,在图2中,将骰子向右翻滚90°,然后在桌面上按逆时针方向旋转90°,则完成一次变换.若骰子的初始位置为图1所示的状态,那么按上述规则连续完成10次变换后,骰子朝上一面的点数是( )
A.6 B.5 C.3 D.2
(2)如图,圆圈内分别标有0,1,2,3,4,…,11这12个数字.电子跳蚤每跳一次,可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈,现在,一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始,按逆时针方向跳了2010次后,落在一个圆圈中,该圆圈所标的数字是______.
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【推荐1】问题提出:将正m边形(m≥3)不断向外扩展,每扩展一个正m边形每条边上的点的个数(以下简称“点数”)就增加一个,则n个正m边形的点数总共有多少个?
问题探究:为了解决上面的问题,我们将采取将一般问题特殊化的策略,先从简单和具体的情形入手:
探究一:n个正三角形的点数总共有多少个?
如图1﹣1,1个正三角形的点数总共有3个;如图1﹣2,2个正三角形的点数总共有6个;如图1﹣3,3个正三角形的点数总共有10个;…;n个正三角形的点数总共有 个.
探究二:n个正四边形的点数总共有多少个?
如图2﹣1,1个正四边形的点数总共有4个;如图2﹣2,2个正四边形的点数总共有9个;
如图2﹣3,连接AC,得到两个三角形△ABC和△ADC,这两个三角形相同之处在于,BC边与CD边都有相同个数的点,即4个点,并且与BC、CD平行的边上依次减少一个点直至顶点A,每个三角形都有10个点,两个三角形就是2×10个点.因为这两个三角形在AC上有4个点重合,所以3个正四边形的点数总共有2×10﹣4=16(个).
如图2﹣4,4个正四边形的点数总共有 个;……n个正四边形的点数总共有 个.
探究三:n个正五边形的点数总共有多少个?
类比探究二的方法,求4个正五边形的点数总共有多少个?并叙述你的探究过程.
n个正五边形的点数总共有 个.
探究四:n个正六边形的点数总共有 个.
问题解决:n个正m边形的点数总共有 个.
实际应用:若99个正m边形的点数总共有39700个,求m的值.
问题探究:为了解决上面的问题,我们将采取将一般问题特殊化的策略,先从简单和具体的情形入手:
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类比探究二的方法,求4个正五边形的点数总共有多少个?并叙述你的探究过程.
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【推荐2】数学问题:计算(其中,都是正整数,且,).
探究问题:为解决上面的数学问题,我们运用数形结合的思想方法,通过不断地分割一个面积为 的正方形,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并采取一般问题特殊化的策略来进行探究.
探究一:计算.
第次分割,把正方形的面积二等分,其中阴影部分的面积为.
第次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,阴影部分的面积之和为.
第次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,.
第次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后二等分,所有阴影部分的面积之和,最后空白部分的面积是.
第次分割图可得等式:.
探究二:计算.
第次分割,把正方形的面积三等分,其中阴影部分的面积为.
第次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,阴影部分的面积之和为.
第次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,.
第次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后三等分,所有阴影部分的面积之和为,最后空白部分的面积是.
根据第次分割图可得等式:,
两边同除以,得.
探究三:计算.
(仿照上述方法,只画出第次分割图,在图上标注阴影部分面积,并写出探究过程)
解决问题:根据前面探究结果:
__________.
__________.(只填空,其中,都是正整数,且,)
拓广应用:计算.
探究问题:为解决上面的数学问题,我们运用数形结合的思想方法,通过不断地分割一个面积为 的正方形,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并采取一般问题特殊化的策略来进行探究.
探究一:计算.
第次分割,把正方形的面积二等分,其中阴影部分的面积为.
第次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,阴影部分的面积之和为.
第次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,.
第次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后二等分,所有阴影部分的面积之和,最后空白部分的面积是.
第次分割图可得等式:.
探究二:计算.
第次分割,把正方形的面积三等分,其中阴影部分的面积为.
第次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,阴影部分的面积之和为.
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两边同除以,得.
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解决问题:根据前面探究结果:
__________.
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解答题-问答题
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较难
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【推荐3】【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点。
第1次在它的内部增画1个点,此时三角形纸片内部共有1个点;
第2次在它的内部继续增画2个点,此时三角形纸片内部共有1+2=3个点;
第3次在它的内部继续增画3个点,此时三角形纸片内部共有1+2+3=6个点;
……
第次在它的内部继续增画个点,此时三角形纸片内部共有个点。
【动手实践】
第次画点后,在三角形纸片内部共有个点,以个点为顶点,把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片,设最多可以剪得个这样的小三角形。
【思考解答】
(1)第次画点后,__________________;(用含有的代数式表示);
(2)第1次画点后,如图1,以4个点为顶点,将原三角形纸片剪成若干个小三角形,最多可以剪得3个这样的小三角形,所以;第2次画点后,如图2,以6个点为顶点,最多可以剪得7个这样的小三角形,所以;第3次画点后,以9个点为顶点,可得____________________;
(3)第次画点后,可得______________;(用含有的代数式表示);
(4)第次画点后,可得个小三角形,第次画点后,可得个小三角形,则________________________。(用含有的代数式表示)。
第1次在它的内部增画1个点,此时三角形纸片内部共有1个点;
第2次在它的内部继续增画2个点,此时三角形纸片内部共有1+2=3个点;
第3次在它的内部继续增画3个点,此时三角形纸片内部共有1+2+3=6个点;
……
第次在它的内部继续增画个点,此时三角形纸片内部共有个点。
【动手实践】
第次画点后,在三角形纸片内部共有个点,以个点为顶点,把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片,设最多可以剪得个这样的小三角形。
【思考解答】
(1)第次画点后,__________________;(用含有的代数式表示);
(2)第1次画点后,如图1,以4个点为顶点,将原三角形纸片剪成若干个小三角形,最多可以剪得3个这样的小三角形,所以;第2次画点后,如图2,以6个点为顶点,最多可以剪得7个这样的小三角形,所以;第3次画点后,以9个点为顶点,可得____________________;
(3)第次画点后,可得______________;(用含有的代数式表示);
(4)第次画点后,可得个小三角形,第次画点后,可得个小三角形,则________________________。(用含有的代数式表示)。
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