【推荐1】如图（1），点C、点D在直线上，点A、点B在直线上，且，连接、、、．
   
(1)请在图（1）中，找出三对面积相等的三角形：　                  　；
(2)利用（1）中的结论解决下面两个问题：
①将图（1）中的、进行以下操作：
第一步，分别复制、，粘贴，如图（2）所示的、．
第二步，先将图（2）中的、的顶点C、D重合，再将绕点C旋转到如图（3）所示位置．
若直线与相交于点E，连接．求证：平分．
②如图（4），折线型小路P﹣M﹣Q，将四边形苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路P﹣M﹣Q改为经过点P的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）．

【推荐2】根据以下素材，探索完成任务．

素材	定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点．
素材	某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线．
素材	平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．
	问题解决
任务	问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ．
任务	请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由．
任务	兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
任务	兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明．

【推荐3】【观察发现】
（1）如图1，在中，点P为内一点，连接，若，则______；
【问题拓展】
（2）如图2，直角三角尺如图放置，，，，直线l经过点A交于点E，点D在的延长线上，若，，求与的面积之和；
【实践应用】
（3）如图3，四边形是一个避暑山庄的平面示意图，米，米，，是一条彩灯带，点D到所在直线的距离相等，区域是绿化区域，点E、F分别在上，米，．为吸引游客，现要对绿化区域进行改造，设计师计划在上找点P，将以点P、C、E为顶点的三角形区域改建成绿化区，要求改建前后的绿化区面积相等（即与的面积相等），请你帮助设计师确定点P的位置，并求出此时的长．
   

【推荐1】王老师擅长巧妙地整合教学材料，引导同学们以整体、相关和逐步发展的视角思考问题，培养科学的思维方式．下面是王老师结合旋转与其他知识内容所设计的问题，请你解答．

(1)如图1，在平面直角坐标系中，点，轴上有一点P，现将点绕点P按顺时针方向旋转至点，则点P的坐标是______，______．
(2)如图2，在中，，点，分别在，上，将线段绕点按逆时针方向旋转至，点恰好落在边上，求证：．
(3)如图3，是底角为的等腰三角形，，为的中点，为射线上一个动点．连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，．当是直角三角形时，请直接写出的长．

【推荐1】综合与实践
数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展活动，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．
【动手操作】如图1，将边长为5的正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形纸片展开，得到折痕；
【证明体验】勤学小组对正方形纸片做了如下操作，如图2，为边上的一个动点，将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，则的形状为______（填三角形的形状），______；
【思考探究】善思小组继续深入思考，将正方形展开，当动点与点重合时，沿折叠，得到点的对应点，延长交于点，如图3，试判断与的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】明辨小组在善思小组的基础上展开思考，将沿继续折叠，点的对应点为，当点的位置不同时点的位置也随之改变，连接，若点恰好落在的边上，请直接写出的长．

【推荐2】二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点、．

(1)求、的值；
(2)是二次函数图像在第一象限部分上一点，且，求点坐标；
(3)在（2）的条件下，有一条长度为的线段落在上（与点重合，与点重合），将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值．

【推荐3】问题探究：
（1）如图1，已知，在四边形中，，，则对角线、的位置关系是______________．

（2）如图2，已知，在中，，．内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2，求的长．

问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，延长至点D，使，过点D作轴于点E．设G为y轴上一点，点P从点E出发，先沿y轴到达G点，再沿到达A点．若点P在直线上运动速度为定值v，在y轴上运动速度为，试确定点G的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短，并求此时点G的坐标．