【推荐1】已知：如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段与点.
（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；
（2）设
①线段的长度是方程的一个根吗？并说明理由.
②若线段，求的值.
   

【推荐2】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B．点B的横坐标为．直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，且．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据函数图象直接写出不等式的解集；
(3)若直线与反比例函数、一次函数和y轴的交点中，有一个点是其他两个点的中点，求b的值．

【推荐3】边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过点B的反比例函数的图象的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，另一支交直线于点E，连接OC，OD，CD，

(1)求k₁，k₂的值；
(2)求的面积；
(3)过原点O的另一条直线交反比例函数的图象于P，Q两点（P点在第一象限），若由点B，E，P，Q为顶点的四边形的面积为12，求点P的横坐标．（直接写出答案）

【推荐1】已知二次函数的图象经过点，两点．
   
(1)若点A是二次函数图象的顶点，求这个二次函数的表达式；
(2)求b的值；判断此二次函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；
(3)设点是二次函数图象与x轴的一个交点，若，求a的取值范围．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，在y轴正半轴上有一点C，．点D，E分别是线段，上的动点，且均不与端点重合．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图①，连接，将沿x轴翻折得到，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
(3)如图②，连接，当时，求的最小值．

【推荐3】综合与探究
如图，已知直线与抛物线分别相交于、两点，，，点是抛物线与轴的另一个交点（与点不重合）．

（1）求抛物线的解析式及直线的解析式；
（2）求的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标．
（4）如果对称轴上有一动点，在平面内是否存在点，使、、、四点构成矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点．、，与y轴交于点C．

（1）________，________；
（2）若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标．

【推荐2】如图，二次函数的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求BDE的面积．
（4）如果P为抛物线B、E间的一个动点，问是否存在点P使PBE面积最大？如果存在，求PBE面积的最大值及此时P点的坐标；如果不存在，说明理由．

【推荐3】已知抛物线（其中、为常数且）与轴交于和两点，与轴交于点.
（1）当时，求抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
（2）填空：__________，点的坐标为____________.（以上结果均用含的式子表示）；
（3）连接，线段的垂直平分线交抛物线的对称轴于点，轴上存在一点（异于点）使得.
①求点的坐标；
②点关于抛物线对称轴的对称点为点，试求面积的最大值.

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B与y轴交于点，对称轴为，点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，，连接．

   

(1)求此抛物线的解析式；
(2)当时，求m的值，并直接写出的面积；
(3)设此抛物线在点C与点P之间部分（包括点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点C与点Q之间部分（包括点C和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出m的值．

【推荐2】已知抛物线y=ax²+bx+a+2(a≠0)与x轴交于点A(x₁，0)，点B(x₂，0)，(点A在点B的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1．
(1)若点A的坐标为(-3，0)，求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x₂的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．

【推荐3】已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx ² +2mx－4（m≠0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D的坐标为（－2，1），点P在二次函数的图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP=2，求出点P的横坐标；