【推荐1】已知如图，在中，点是边上一点，连接、，，，点是上一动点，连接．

（1）如图1，若点是的中点，，求的面积；
（2）如图2，当时，连接，求证：；
（3）如图3，以为直角边作等腰，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值．

【推荐2】我们把经过三角形的一个顶点且与该三角形的两条边所在直线相切的圆叫做这个三角形的准切圆．
   
(1)如图，已知．求作：的一个准切圆；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)证明：等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；
(3)在中，，，，直接写出它的准切圆的半径长．

【推荐3】如图，在直角坐标系中，一次函数交轴，轴于，．若点向右平移个单位得到点，作平行四边形．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动，记点运动时间为秒．

备用图

(1)直接写出点的坐标________，点的坐标________（用含的代数式表示）；
(2)若，连接，是的中点，连接并延长交直线于点，当为何值时，存在以为腰的等腰
(3)若，连接，作关于的对称点，恰好落在平行四边形的边上，则________．（直接写出答案）

【推荐1】如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与x轴的交点分别为H，K（点H在点K的左侧）．点F在线段上运动（不与点A、B重合），过点F作直线轴于点P，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，是否存在点F，使是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，过点C作于点E，当的周长最大时，过点F作任意直线l，把沿直线l翻折，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段的最大值和最小值．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，为正方形外两点，．给出如下定义：
如果线段平移m个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称m的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为d．
   
(1)如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是_________；在点中，连接点M与点________的线段的长度等于d．
(2)若点都在直线上，求d的值；
(3)若点M的坐标为，直接写出d的取值范围．

【推荐3】在中，，，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，以为一边向逆时针方向作，使，，直线交直线于点．

(1)直接写出______，______（均用含的代数式表示）；
(2)如图1，当，时，求证：；
(3)如图2，当时，点为边上一动点，取线段的中点，线段上有一点，点到点的距离为，若，则线段长度的最小值为______；
(4)如图3，当时，若，则点落在线段的垂直平分线上时，直接写出的值为______．

【推荐1】如图在矩形中，P是边上一动点（不与C，D重合），连接，，过P作交于点E，分别过E作，，垂足分别为M，N，连接．

(1)若，，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值并指出此时的长度．
(2)①若，，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值并指出此时的长度．
②若，，当满足什么条件时，的面积存在最大值．求出的面积存在最大值时，的取值范围．

【推荐2】如图，正方形，点E，F分别在，的延长线上，连接交于点G，连接交的延长线与点H，且．

(1)求证：平分；
(2)求的度数；
(3)如备用图，过点F作于P，求证：B，P，D三点共线．