【推荐1】阅读理解
在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．
如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；
类比应用
如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新
如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C．

   
(1)求点A、点B、点C的坐标，并求出的面积；
(2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N，
①若线段，请求出此时点N的坐标；
②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，长方形中，，现有一动点P从A出发以的速度，沿长方形的边返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．

(1)当时，___________；
(2)当t为何值时，连接是等腰三角形；
(3)Q为边上的点，且，P与Q不重合，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．

【推荐1】如图，正方形的边长为，射线是外角的平分线，点在边上运动（不与点、重合），点在射线上，且，与相交于点，连结、、．
   
(1)求证：；
(2)求的周长（用含的代数式表示）；
(3)试探索：点在边上运动至什么位置时，的面积最大．

【推荐2】【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题：

（1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系？请说明理由．
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，，点E在边上，连接，F为延长线上一点，连接，，且的延长线垂直于，垂足为点H．
①求的值；
②求的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接，若，，请你求出的长．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，，分别落在x轴和y轴上，将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G．

(1)求k的值；
(2)若点P在坐标轴上运动，求动点P的坐标，使．

【推荐2】如图1，二次函数y=ax²﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求a的值．
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标．
③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．

【推荐3】如图，在直角坐标系xOy中，直线l₁：y＝x经过点A（﹣4，a），直线l₂与l₁交于点，与y轴交于点B，点A关于x轴对称的点A′在直线l₂上．

(1)求直线l₂的函数表达式；
(2)连接AB，求△AOB的面积；
(3)过点D（n，0）作x轴的垂线，分别交l₁，l₂于点M，N，若M，N两点间的距离不小于5，直接写出n的取值范围；
(4)若Q是直线l₂上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，直接写出OQ'的最小值．

【推荐2】如图，与轴交于点C，与x轴的正半轴交于点K，过点C作轴交抛物线于另一点B，点D在轴的负半轴上，连接交轴于点A，若．

(1)用含的代数式表示的长．
(2)当时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
(3)过点B作轴交轴于F，延长至E，使得，连接交轴于点G，连接交轴于M．若的面积与的面积相等，求值．

【推荐3】如图1，四边形中，，平分，连接．
       
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，过C作，连接，若，．求的值．