【推荐1】如图，在中，，以点为圆心，长为半径作，交于点，交延长线于点，是的切线，连接．

(1)求证：；
(2)若的半径为，当四边形为菱形时，求的长．

【推荐2】在等边中，为射线上一点，是外角的平分线，，于．

(1)如图1，求证；
(2)如图1，若点在线段上（不与，点重合），求证：；
(3)如图2，若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【推荐3】如图，点C为线段BD上的一点，△ABC和△CDE是等边三角形.
（1）求证：AD=BE.
（2）以点C为中心，将△CDE逆时针方向旋转，旋转角为ɑ(0°＜ɑ＜360°).
①当ɑ为多少时DE∥AB?直接写出结果，不要求证明.
②当BC=6, CD=4时 ,设点E到直线AB的距离为y, 当ɑ为多少时，点E到直线AB的距离最小？求出最小值，并简洁说明理由.

【推荐1】【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：

如图①，，点P在与之间，可得结论：．
理由如下：
过点P作．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴



【问题解决】
(1)如图②，，点P在与之间，可得间的等量关系是                 ；（只写结论）
(2)如图③，，点P，E在与之间，，，写出与间的等量关系，并写出理由；
(3)如图③，，点P，E在与之间，若， ，可得与间的等量关系是                 ；（只写结论）
(4)如图④，，点P，E在与之间，，．可得与间的等量关系是                 ．（只写结论）

【推荐2】探究
(1)已知如图1，若AB∥CD，P为平行线内的一点请你判断∠B+∠P+∠D=           度，并说明理由.

(2)如图2，若AB∥CD ，P_1、P₂为平行线内的两个点，请求出∠B+∠P₁+∠P₂+∠D=           度(不需要说明理由)
(3)如图3，如此类推若AB∥CD，P_1、、P₂、P₃、P₄、……P_n为平行线内的n个点，请求出∠B+∠P₁+∠P₂+∠P₃+……．+∠P_n-1+∠P_n+∠D=           度(不需要说明理由)

【推荐3】如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．

   

(1)求证：；
(2)若的半径为6，，求的长．

【推荐1】在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．

(1)将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝　　；
(2)将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，
①若∠NEC+∠CEF＝180°，请直接写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系：　　；
②若∠NED+∠CEF＝180°，请判断∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．
(3)将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）：　　．

【推荐2】将两块直角三角板如图1放置，，，，，．

   

(1)若三角板如图1摆放时，则________，________．
(2)现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于G，作和的角平分线交于点H，求的度数；
(3)现固定，将绕点A顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的度数．

【推荐1】问题背景：小强在学习完平行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过的顶点作．
请完成：（1）利用小强的构图，说明的理由；
尝试应用：如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧运动，点在射线上运动（不与重合）；
请完成：（2）当时，平分，平分交直线于点，求的度数；
拓展创新：如图3，点在线段上运动（不与重合），，，，交于点；
请完成：（3）当为何值时，不随的变化而变化，并用含的代数式表示的度数（写出解答过程）．
   

【推荐2】已知直线，点在直线、之间，点M、N分别在直线、上．

(1)如图1，直线过点，分别与直线、交于点、，，求证：；
(2)如图2，点F在直线上，、分别平分、，若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，平分．直线与交于点，平分，．求证：．

【推荐3】材料1：反射定律
当入射光线AO照射到平面镜上时，将遵循平面镜反射定律，即反射角（∠BOM）的大小等于入射角（∠AOM）的大小，显然，这两个角的余角也相等，其中法线（OM）与平面镜垂直，并且满足入射光线、反射光线（OB）与法线在同一个平面．
材料2：平行逃逸角
对于某定角∠AOB=α（0°＜α＜90°），点P为边OB上一点，从点P发出一光线PQ（射线），其角度为∠BPQ=β（0°＜β＜90°），当光线PQ接触到边OA和OB时会遵循反射定律发生反射，当光线PQ经过n次反射后与边OA或OB平行时，称角为定角α的n阶平行逃逸角，特别地，当光线PQ直接与OA平行时，称角β为定角α的零阶平行逃逸角．
（1）已知∠AOB=α=20°，
①如图1，若PQ∥OA，则∠BPQ=　°，即该角为α的零阶平行逃逸角；
②如图2，经过一次反射后的光线P₁Q∥OB，此时的∠BPP₁为α的平行逃逸角，求∠BPP₁的大小；
③若经过两次反射后的光线与OA平行，请补全图形，并直接写出α的二阶平行逃逸角为　°；
（2）根据（1）的结论，归纳猜想对于任意角α（0°＜α＜90°），其n（n为自然数）阶平行逃逸角β=　 （用含n和a的代数式表示）．