【推荐1】如图①，已知直线，且和分别相交于两点，和分别相交于两点，点在线段上，记．
   
（1）若，则_____；
（2）试找出之间的数量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题；如图②，点在处北偏东的方向上， 若，则点 在处的北偏西_____的方向上；
（4）如果点在直线上且在两点外侧运动时，其他条件不变，试探究之间的关系(点 和两点不重合)，直接写出结论即可．

【推荐2】如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．

（1）猜想直线与直线有怎样的位置关系？说明你的理由；
（2）若点为直线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．
①如图2，当点在射线上运动时，若，求的度数；
②当点在直线上运动时，请直接写出和的数量关系．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点A为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，，，其中满足关系式

   

(1)___________，___________；
(2)如图，若平分交于点，交于点，求证：；
(3)如图，若点、点分别在轴负半轴和正半轴上运动，的角平分线交轴于点，点在轴上，且，请补全图形，探究的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）．

【推荐1】我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．）
   
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有_________；②在凸四边形中，且，则该四边形_________“十字形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，，，，是半径为1的上按逆时针方向排列的四个动点，与交于点，，当时，求的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线（，，为常数，，）与轴交于，两点（点在点的左侧），是抛物线与轴的交点，点的坐标为，记“十字形”的面积为，记，，，的面积分别为，，，．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：①；②；③“十字形”的周长为．

【推荐3】已知：如图，是的直径，弦垂直平分，为垂足，是上一点，，的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）计算，的度数．
（3）连接，若是半圆的中点，且的半径为，求三角形的面积．（用含的代数式表示）
   

【推荐1】如图，是的直径，点A为圆上一点（不与C，D点重合），经过A作的切线，与的延长线交于点P，点M为上一点，连接并延长，与交于点F，E为上一点，且，连接并延长，与交于点B，连接．

（1）求证：．
（2）若，求的长．
（3）如果，求的长．

【推荐2】已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）
(1)如图，当PQAC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；
(2)当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

【推荐1】（1）问题发现：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，连接BE，CD交于点F．则＝________；∠BFC＝________；
（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AD＝CD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC的度数，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF、CE所在直线交于点G，若DE＝1，AD＝，当点G与点E重合时，求AF的长．

【推荐3】如图，在中，，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动，当点Р不与点A，B重合时，作，边PD交折线于点D，点A关于直线PD的对称点为E，连接ED，EP得到．设点P的运动时间为t（秒）．

(1)直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）；
(2)当点E落在边BC上时，求t的值；
(3)设与重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出S的最大值.