【推荐1】（1）如图所示，矩形中，，将矩形绕点B逆时针旋转，得到新的矩形，连接，，线段交于点G，连．

①请直接写出线段和的数量关系______，位置关系______；
②求证：．
（2）如图所示，中，，，将绕点B逆时针旋转，得到新的，连接，，线段，相交于点G，点O为线段中点，连，在旋转的过程中，是否发生改变？如果不变，请求出的值；如果发生改变，请说明理由．

【推荐3】如图，在正方形中，，点是上的一个定点，且，点是边上一动点，连接，以为边在的上方作正方形，连接，．
   
(1)求证：；
(2)求点在从点运动到点的运动过程中，点的移动距离；
(3)若随着点的运动，直接写出的最小值是______．

【推荐2】已知线段．

(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，当时，作，与交于点D，求的最小值，并直接写出此时线段的长：
(3)如图3，当时，点E是线段上，关于对称线段为，延长交的延长线于点G，求当点E在方向上运动时，点G的运动路径长．

【推荐2】问题探究：

(1)如图①，点D，E分别是边，上的点，且，，则与的高之比为___________；
(2)如图②，在中，，，矩形的顶点D，E分别在边、上，顶点F、G在边上，若设，求当取何值时，矩形面积最大．
问题解决：
(3)某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地计划改造公园，经测量，，，且，按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留根号）