【推荐1】【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决
   
（1）若四边形是菱形，边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，连接、，则与的数量关系为 ，长度的最小值为 ．
【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决：
（2）如图2，若四边形是正方形，边长为，点为中点，点是射线上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接、．求：
①与的数量关系；
②求长度的最小值．
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的基础上，当是对角线的延长线上一动点时，以为直角边在边的右侧作等腰，，连接，若，，求的面积．

【推荐2】在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M，FH的中点是P．
（1）如图1，点A、C、E在同一条直线上，根据图形填空：
①△BMF是__________三角形；
②MP与FH的位置关系是___________；MP与FH的数量关系是____________；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，解答下列问题：
①证明：△BMF是等腰三角形；
②（1）中得到的MP与FH的位置关系和数量关系是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，（2）中的三个结论还成立吗？（成立的不需要说明理由，不成立的需要说明理由）
        

【推荐2】[问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图，在中，，为边上的任一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为．求证：．
小明的证明思路是：
如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．
小颖的证明思路是：
如图，过点作，垂足为，可以证得：，，则．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]
（2）如图，当点在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：．     
        
[结论运用]
（3）如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作，，垂足分别为，，若，，求的值．
[迁移拓展]
（4）图是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，为边上的一点，，，垂足分别为，，且，，，，、分别为，的中点，连接，，请直接写出与的周长之和．

【推荐3】已知，如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30⁰，∠AED=90⁰．

（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个长度单位的速度沿DC向右平行移动，得到△A₀E₀D₀，当A₀D₀与BC重合时停止移动．设移动时间为t秒，△A₀E₀D₀与△BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转，在旋转过程中，B的对应点为B₁，E的对应点为E₁，设直线B₁E₁与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知正方形，点，分别在射线，射线上，，与交于点．

(1)如图1，当点，分别在线段，上时，求证：，且；
(2)如图2，当点在线段延长线上时，将线段沿平移至，连接．
①依题意将图2补全；
②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明．

【推荐2】某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

[观察与猜想]
(1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为＝ 　 　；
(2)如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为 　 　．
[性质探究]
(3)如图③，在四边形中，．点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．求证：；
[拓展延伸]已知四边形是矩形，，
(4)如图④，点是上的点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上．求的值；
(5)如图⑤，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时， 　 　．

【推荐1】如图．已知为等腰直角三角形，，、分别为、上的两点，，连接，将绕点逆时针旋转得，连接与交于点．

(1)如图1，当时，若，求的长；
(2)如图2，连接，为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，连接，将绕点顺时针旋转得，连接、、，若，当周长取得最小值时，直接写出的面积．

【推荐3】（1）操作思考：如下图，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则：

①的长为______；②点的坐标为______；（直接写结果）
（2）拓展研究：如下图，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点，是线段上的一个动点，点是直线上一动点，是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）感悟应用：如下图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，若将直线绕点旋转后与轴交于点，则点的坐标为______．（直接写出答案）