综合与实践
问题情境：如图1，正方形纸片
和
有公共顶点
，其中
.将正方形
绕点按顺时针方向旋转
．
观察发现：
(1)如图2，当
时，连接
，小组成员发现
与
存在一定的关系，其数量关系是______________，位置关系是__________________.
探索研究：
(2)当
三点共线时，请在图3中画出图形，并直接写出此时
的长度.
拓展延伸：
(3)猜想图3中
与
的数量关系并证明.
问题情境：如图1，正方形纸片
和有公共顶点，其中.将正方形绕点按顺时针方向旋转． 观察发现：
(1)如图2，当
时，连接，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是______________，位置关系是__________________.探索研究：
(2)当
三点共线时，请在图3中画出图形，并直接写出此时的长度. 拓展延伸：
(3)猜想图3中
与的数量关系并证明.
更新时间：2023-06-22 11:53:11
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(0.15)
【推荐1】如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG，易证BG=AE且BG⊥AE．
(1)如图2，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），试猜想线段BG和AE的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（900＜α≤3600），
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图3证明你的结论；
②若BC=DE=6，当AE取最大值时，求AF的值及此时α的度数．
(1)如图2，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），试猜想线段BG和AE的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（900＜α≤3600），
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图3证明你的结论；
②若BC=DE=6，当AE取最大值时，求AF的值及此时α的度数．
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(0.15)
名校
【推荐2】在正方形中，将线段BA绕着点B旋转α（
），得到线段
，连接
．
(1)如图1，若
，连接，求证：
；
(2)如图2，若
，过点A作
交
延长线于点G，连接
，
，猜想线段
之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在线段
旋转的过程中，直线
交于点M，过点A作交直线于点G，直线
交于点N．若
，当线段
取得最小值时，请直接写出
的值．
中，将线段BA绕着点B旋转α（），得到线段，连接． (1)如图1，若
，连接，求证：；(2)如图2，若
，过点A作交延长线于点G，连接，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，在线段
旋转的过程中，直线交于点M，过点A作交直线于点G，直线交于点N．若，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
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，点
的路径运动，运动时间为
（秒）. 过点
于点
. （
在
的右侧）
时，
的内部，连结
，求证：
；
时，设正方形
，求
时，若直线
两部分，求
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【推荐1】已知正方形ABCD中AC与BD交于点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．
(1)如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；
(2)如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN，当EN//BD时，
①求证：四边形DENM是菱形；
②求证：BM＝AB；
(3)在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥BC时，求证：AN2＝NC
AC．
(1)如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；
(2)如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN，当EN//BD时，
①求证：四边形DENM是菱形；
②求证：BM＝AB；
(3)在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥BC时，求证：AN2＝NC
AC．
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名校
【推荐2】已知正方形，
是
边上一点，过点作
交
的延长线于点
，交
的延长线于点
． 
，则线段
之间有怎样的数量关系： （直接写出结论）；
(2)如图2，如果过点作
交
的延长线于点
，那么
，请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作
于点
，连接
，若
，求的长．
，是边上一点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． 
，则线段之间有怎样的数量关系： （直接写出结论）；(2)如图2，如果过点
作交的延长线于点，那么，请说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，过点
作于点，连接，若，求的长．
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中，
，在
，正方形
和正方形
的延长线交
的延长线分别交
于点K，交
；
分别交
于点P，交
．
，在
，已知
，求
周长之比；
中，
．M是
上一点，
，连接
；
，求
与
周长之比．
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【推荐1】如图，边长为6的正方形ABCD中，E为AB中点，P为BC上一点（不与B、C重合），将△BPE沿直线PE翻折，点B落在B' 处，直线PB'交射线AD于点Q，连接EQ，设BP＝a．
(1)求证：∠PEQ＝90°；
(2)设
的值为y，用含a的代数式表示y并求出y的最大值；
(3)若F为BC中点，设过点F且垂直于BC的直线被直角三角形PEQ截得的线段长为d，请直接写出d与a的关系式．
(1)求证：∠PEQ＝90°；
(2)设
的值为y，用含a的代数式表示y并求出y的最大值；(3)若F为BC中点，设过点F且垂直于BC的直线被直角三角形PEQ截得的线段长为d，请直接写出d与a的关系式．
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名校
【推荐2】已知
，点D为直线上的一个动点（点D不与点B重合），连接
，以为一边构造
，使
，连接
．
(1)如图1，当
时，直接写出线段
与线段的数量关系与位置关系∶
①数量关系：________；
②位置关系：_________；
(2)如图2，当
时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，分别取线段，的中点M，N，连接
，若
，请直接写出
的面积．
，点D为直线上的一个动点（点D不与点B重合），连接，以为一边构造，使，连接．(1)如图1，当
时，直接写出线段与线段的数量关系与位置关系∶①数量关系：________；
②位置关系：_________；
(2)如图2，当
时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，分别取线段，的中点M，N，连接，若，请直接写出的面积．
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与
轴交于点
，与
轴交点
，抛物线
过
时，求
的值．
是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点
，使以
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【推荐1】如图1，在直角梯形ABCD中，AD
BC，∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm．点P由点C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AC交于Q点，连接PE，PF．当点P与点Q相遇时，所有运动停止．若设运动时间为t（s）．
(1)求AB的长度；
(2)当PECD时，求出t的值；
(3)①设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时，则t的值为 ．（直接写出答案）
BC，∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm．点P由点C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AC交于Q点，连接PE，PF．当点P与点Q相遇时，所有运动停止．若设运动时间为t（s）．(1)求AB的长度；
(2)当PE
CD时，求出t的值；(3)①设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时，则t的值为 ．（直接写出答案）
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名校
【推荐2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，连接CF，并延长CF、BA交于G点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α（60°≤α＜90°）．
(1)当α＝60°时，求CE的长；
(2)当60°＜α＜90°时，
①求证：∠EFD＝3∠AEF；
②当CE2﹣CF2取最大值时，求BE的长．
(1)当α＝60°时，求CE的长；
(2)当60°＜α＜90°时，
①求证：∠EFD＝3∠AEF；
②当CE2﹣CF2取最大值时，求BE的长．
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是
的平分线交
是
时，连接
．求证：
；
时，求
