【推荐1】几何综合：已知：点是边上一动点，作，点、点分别是边、上的点，且满足，，连接；设（常数）．

(1)证明推断：若．如图1，
①求证：；
②推断：当，时， ；
(2)类比探究：若．如图2，当时，试写出线段、、与常数之间一个相等关系，并证明；
(3)拓展应用：若．如图3，设，，当，时，求常数的值和线段的长度．

【推荐2】在菱形中，．

（1）如图1，点为线段的中点，连接，．若，求线段的长．
（2）如图2，为线段上一点（不与，重合），以为边向上构造等边三角形△AMN，线段与交于点，连接，，为线段的中点．连接，，判断与的数量关系，并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，若，请你直接写出的最小值．

【推荐3】【问题】
在中，，，点在直线上（除外），分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系.
【探究发现】
某数学兴趣小组在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是中点时，只需要取边的中点（如图1），通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；
【数学思考】
那么点在直线上（除外）（其他条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？
请你从“点在线段上”“点在线段的延长线上”“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论.
   

【推荐2】阅读下列材料，并按要求解答．
【模型建立】如图①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，BC＝10，AB²＝200．求线段BD的长．
应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ为等腰直角三角形，QO＝QP，P（4，m），点Q始终在直线OP的上方．

（1）折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，当m＝2时，求Q点的坐标和直线l与x轴的交点坐标；
（2）若无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式　 　．

【推荐3】如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合；点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

(1)如图1，连接AE，请直接写出AE与AF有何数量关系，答：__________．
(2)在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，并加以证明．
(3)如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，当，时，求MN的长．

【推荐1】课本再现

（1）如图1，在中，D，E分别是边，的中点，在证明“三角形两边中点的连线与第三边的关系”时，小明通过延长到点F，使，连接，
证明：四边形是平行四边形．
类比迁移
（2）在四边形中，E为的中点，点G、F分别在、上，连接、、，且．
①如图2，若四边形是正方形，、、之间的数量关系为________；
②如图3，若四边形是平行四边形，①中的结论是否成立，请说明理由．
方法运用
（3）如图4，在四边形中，，，E为的中点，G、F分别为、边上的点，若，，，请直接写出的长．

【推荐2】在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为BC延长线上一点，且BD＝BE，连接DE，Q为DE的中点，有一动点P从B点出发，沿BC以每秒1个单位的速度向E点运动，运动时间为t秒．
(1)如图1，连接DP、PQ，则S_△DPQ＝_____(用含t的式子表示)；
(2)如图2，M、N分别为AB、AD的中点，当t为何值时，四边形MNQP为平行四边形？请说明理由；
(3)如图3，连接CQ，AQ，试判断AQ、CQ的位置关系并加以证明．
   

【推荐3】如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以/秒的速度移动，点从点出发，向点以/秒的速度移动（不到点）．设点，同时出发移动秒．
   
(1)在点，移动过程中，连接，，，则的形状是        ，始终保持不变；
(2)如图2，连接，设交移动，当时，求的长；
(3)如图3，点，分别在边，上，且，连接，当与的夹角为，求的值．

【推荐1】【基础巩固】（1）如图1，在矩形中，，，点E是上的一点，连结，若，则的值为______；

【类比探究】（2）如图2，在四边形中，，，，，点E为上一点，连结，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．求的值．

【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，，将沿翻折得，点E，F分别在边上，连结，，求的值．

【推荐2】同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为________；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．