【推荐1】如图，在中，，，点D在边所在直线上，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．

【动手操作】
（1）如图①，若点D是边的中点，在图①画出线段和，并证明；
【问题探究】
（2）如图②，当点D在线段上时，过点C作的平行线，交于点F，试探究线段与的数量关系，请写出探究过程；
【拓展延伸】
（3）如图③，当点D在线段的延长线上时，过点E作于点G，探究，，之间的数量关系，并说明理由．

【推荐2】（1）如图1，四边形中，，，点，分别在边，上，且，求证：．
（2）如图2，四边形中，，点在边上，连接，平分交于点，，，连接，．
①找出图中与相等的线段，并加以证明；
②求的度数（用含的式子表示）．

【推荐3】如图，在中，，，，于D，E为边上的点；再作，使得，，解答：

(1)当时，证明：；
(2)求线段的最小值；
(3)若的内心在的外部，直接写出的范围．

【推荐2】在等腰中，，，点、分别在、上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，交于点
（1）如图1，若点为中点，，，求的长；
（2）如图2，求证：．

【推荐3】在中，，过点A作直线，以C为顶点作，分别交直线，于点D，E．

(1)如图1，当时，请直接写出线段与的数量关系，不必说明理由；
(2)如图2，当时，请写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)当时，且，时，请直接写出线段的长．

【推荐2】如图，中，，，点在边上运动（不与重合），点在线段上，连结．点运动时，始终满足．

(1)当的最小值为4时，此时　　；
(2)当时，判断的形状并说明理由；
(3)在点的运动过程中，的形状是等腰三角形时，请直接写出此时的度数．

【推荐2】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图1中，的三个顶点都是格点．F是与格线的交点．将绕点A顺时针旋转得到，并在上作点E，使得；
(2)在图2中，点A，C都是格点，点B在网格线上．以为直径的半圆的圆心为O，作的平分线交半圆O于点E，在线段上找一点P，使．

【推荐3】同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为________；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．