【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，点在原点．
   
(1)如图2，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，求此时点的坐标；
(2)如图3，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点边交轴于点．
①当点是边的中点时，求点的坐标；
②设的周长为，在旋转正方形的过程中，的值是否有变化？如果有变化，请说明变化的规律；如果没有变化，请求出的值．

【推荐2】八年级数学课上，老师出示了如图框中的题目．

如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．

小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答
（1）特殊情况入手探索：
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：_______（填“”，“”或“”）

（2）一般情况进行论证：
对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图2，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程）

（3）应用结论解决问题：
在边长为的等边三角形中，点在直线上，且，点在直线上，．则_______（直接写出结果）

【推荐3】已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、．

（1）如图1，若，，过点作于点，分别交、于点、；
①求证：；
②若，连接，求的度数；
（2）如图2，点为上一点，交于点，连接．若，请直接写出________．

【推荐1】如图，在中，，，点为内一点，且，

(1)求证：；
(2)，为延长线上的一点，且，
①求证：平分；
②若点在上，且，试证明；
③若为直线上一点，且为等腰三角形，直接写出的度数．

【推荐3】在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．
   
(1)如图1，以A为顶点作等腰直角时，，若，垂直于x轴，垂足为D，则D点的坐标为     ；C点的坐标为     ；
(2)如图2，以B为顶点作等腰直角，，若，求点D的坐标；
(3)如图3，若于点F，以为边作等边，连接交于点N，点E在上且，连接，求线段的数量关系．

【推荐1】在正方形中，点为射线上一点，连接，过点作交射线于点，以为邻边作矩形，连接．

(1)如图，当点在线段上时．
求证：矩形是正方形；
求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，正方形的边长为，，请直接写出的长．

【推荐3】如图所示，中，，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作于点，并作关于直线对称的，设点的运动时间为，与的重叠面积为．
   
(1)当点在边上时， ______（用含的代数式表示）．
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．

【推荐1】定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】
(1)在已经学过的“平行四边形；矩形；菱形；正方形”中，______的“中点四边形”一定是正方形，因此它一定是“中方四边形”（填序号）．
【性质探究】
(2)如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的一条结论：______．

【问题解决】
(3)如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．

求证：四边形是“中方四边形”．

【推荐2】如图，在正方形中，，M为对角线上任意一点（不与B、D重合），连接，过点M作，交线段于点N．

(1)求证：；
(2)若，求证：．

【推荐3】已知菱形中，为对角线，点是的中点，连接交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接.

（1）若，求证：四边形是正方形
（2）已知，求的长；
（3）若固定，设，将绕着点从点开始逆时针旋转过程中，菱形也随之变化，且满足，若是直角三角形，直接写出的值；