【推荐1】如图，为圆直径，为圆上一点，连接，．

（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，在（1）的条件下，求的长．

【推荐2】如图，在平行四边形ABCD中，，请用尺规作图法在BC边上求作一点E，使得．（不写作法，保留作图痕迹）

【推荐3】下面是小宁设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程．
   
已知：平行四边形．
求作：，垂足为E．
作法：如图所示，
   
①连接，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线，交于点O；
③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点E（点E不与点C重合），连接．
所以线段就是所求作的高．
根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：，________，
点P、Q都在线段的垂直平分线上，
直线为线段的垂直平分线，
O为中点．
为直径，与线段交于点E，
_______（                                           ）（填推理的依据）
．

【推荐1】如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以铅秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A运动；当点P停止运动时，点Q也随之停止，点P、Q同时出发，设点P的运动时间为t（秒）．

(1)的长是_________；
(2)用含t的代数式表示的长；
(3)设点Q到的距离为y，求y与t之间的函数关系式；
(4)若点C关于直线的对称点为，当时，请直接写出直线与的直角边平行或垂直时t的值．

【推荐2】如图（1），在矩形中，分别是的中点，作射线，连接.

（1）请直接写出线段与的数量关系；
（2）将矩形变为平行四边形，其中为锐角，如图（2），，分别是的中点，过点作交射线于点，交射线于点，连接，求证：；
（3）写出与的数量关系，并证明你的结论.

【推荐3】如图，矩形和矩形有公共顶点A和C，，相交于点G，，相交于点H，求证：．
   

【推荐1】如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作于点.
   
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长.

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆，
(1)求⊙O的半径；
(2)点P从点B沿边BA向点A以点1cm/s 的速度匀速运动，以点P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为 t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．