【推荐1】如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一点，进行如下操作：
①连接，分别以A，B为圆心，大于长为半径，在两侧作弧，两弧交于M，N两点，过作直线；
②过点B作x轴的垂线交直线于点P；
③多次移动点B的位置，得到对应的点P，将这些点用平滑的曲线连接起来，发现该曲线为抛物线．
   


(1)请用无刻度的直尺和圆规在图①中作出直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(2)设点P的坐标为，求点P形成抛物线的表达式；
(3)如图②，一个横截面为抛物线形的单向隧道，其高为3米，且近似满足点P形成的抛物线表达式，若规定车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，则宽为2米的货车通过隧道的最大高度应为什么米．

【推荐3】【问题背景】
人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少?

【提出问题】
在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？
【分析问题】
小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题．
【解决问题】
为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究．
如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上．
请你完成下面两个问题：
（1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小；
（2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）．

【学以致用】
定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题：
在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？
你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由．

【推荐1】按要求作图：

(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；
(2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，BAC50，利用无刻度直尺在图中画一个含有50角的直角三角形；
(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置．

【推荐3】用无刻度的直尺完成下列画图．
   
(1)如图1，的三个顶点在上，，，是的中点．先分别画出，的中点，，再画的内接正五边形；
(2)如图2，正五边形五个顶点在上，过点画的切线．

【推荐2】如图，已知是的弦，点、是上的两个点，交于点，连结，．

(1)求证：点是的中点．
(2)若，求的值．
(3)若，则的值是否为定值？如果是，请求出其值；如果不是，请说明理由．

【推荐1】如图，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点，过点作轴，垂足为，且．

（1）求的值；
（2）为线段上一点，过点作的垂线，交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，连接交于点，且，点在线段上，若，求点的坐标．

【推荐3】点P在四边形的对角线上，直角三角板的直角边，分别交，边于点M，N．

【特例探究】（1）如图1，若O是边长为2的正方形对角线，的交点，当点Р在点O处时，无论三角板绕点O怎样转动，我们发现，三角板与正方形重叠部分的面积总等于______；
【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，改变点Р的位置（P在对角线AC上），若，则有．
下面是该结论的证明过程：
证明：过点P作于点G，作于点H，
……
请按以上证明思路完成剩余的证明过程；
【迁移探究】（3）如图3，在（2）的条件下，将“正方形”改为“矩形”，且，，其他条件不变．若，且过点B，直接写出的长．