【推荐2】综合与实践
【问题背景】
数学活动课上，老师将矩形 按如图①所示方式折叠，使点与点重合，点的对应点为，折痕为，若为等边三角形．

   

(1)请解答老师提出的问题：
试猜想与的数量关系，并加以证明．
【实践探究】
(2)小明受到此问题启发，将纸片按如图②所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若,，
①试判断重叠部分的形状，并说明理由；
②若点为的中点，连接，求的长；
【问题解决】
(3)小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在中，将折叠，使点与点重合，点为折痕所在直线上一点，若，，，请直接写出线段的长．

【推荐2】如图，在中，，，，于H，点E为线段AH上的一个动点，过点E作交于点F，连结．若的长为x，的面积为S．

(1)求S关于x的函数关系式．
(2)当四边形为平行四边形时，求S的值．
(3)若点B关于E的对称点为，当点落在的内部（包含边界）时，则S的取值范围为______．（直接写出答案）

【推荐3】已知：如图所示，在菱形中，，点为边上一个动点，，过点作交于点，直线与相交于点，点到直线的距离为．

   

(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：；
(3)试探求线段的数量关系，并证明你的结论．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：经过点C，且与y轴交于点D．

(1)求点C的坐标和b的值；
(2)如图2，点P为y轴上一动点，将沿直线翻折得到．
①当点P为线段上一动点时，设线段交线段于点F，求与的面积相等时，点P的坐标；
②当点E落在x轴上时，求点E的坐标及的面积．

【推荐3】在△ABC中∠B＝45°，∠BAC＝90°，E为BC边上一点，D为BA延长线上一动点，连接DE，且∠BDE＝∠ACD．

(1)如图1，求证：DE＝DC．
(2)如图2，过点B作BF⊥CD于点F，交AC于点G，交DE于点H，求证：．
(3)如图3，若点M是AC的中点，AC＝，点N是BC边上点E左侧的一点，且NE＝1，当点D在运动过程中，当四边形ANEM周长最短时，直接写出DC的长．