（1）如图1：已知
，
，直线
；
①完成作图：以点A为圆心，AB长为半径画弧，交直线CD于点P，连接PB．
②试判断①中∠ABP与∠BAC的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图2：已知是格点三角形，点C在直线n上，且
；在直线n上画出点P，连接PB，使得
．（不用尺规作图）
，，直线；①完成作图：以点A为圆心，AB长为半径画弧，交直线CD于点P，连接PB．
②试判断①中∠ABP与∠BAC的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图2：已知
是格点三角形，点C在直线n上，且；在直线n上画出点P，连接PB，使得．（不用尺规作图）
更新时间：2023-03-13 21:58:36
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【推荐1】如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：
CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
小明是这样证明的：请填写理由
证明：过点P作PQAB
∴∠APQ=∠A（ ）
∵PQAB，ABCD．
∴PQCD（ ）
∴∠CPQ=∠C（ ）
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
(2)在图2中，ABCD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为 ；
(3)在图3中，ABCD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为 ；
(4)在图4中，ABCD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．
CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．小明是这样证明的：请填写理由
证明：过点P作PQ
AB∴∠APQ=∠A（ ）
∵PQ
AB，ABCD．∴PQ
CD（ ）∴∠CPQ=∠C（ ）
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
(2)在图2中，AB
CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为 ；(3)在图3中，AB
CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为 ；(4)在图4中，AB
CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．
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名校
【推荐2】已知，
，点
为射线
上一点．
（1）如图1，若
，
，则
；
（2）如图2，当点在延长线上时，此时
与
交于点
，则
、
、
之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，当点在延长线上时，
平分
，且
，
，
，求
的度数．
，点为射线上一点．（1）如图1，若
，，则 ；（2）如图2，当点
在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，当点
在延长线上时，平分，且，，，求的度数．
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的直角三角板
，且
，其中
．
和
分别过三角板
，则
______
时，求
的度数（用含n的代数式表示）．
时，请判断
和
的数量关系，并说出理由．
解答题-问答题
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【推荐1】如图，在
中，E是
的中点，
交
于点D，连接
并延长，交于点B，连接
．
(1)若
，求
的度数；
(2)若
，
，求的半径长．
中，E是的中点，交于点D，连接并延长，交于点B，连接． (1)若
，求的度数；(2)若
，，求的半径长．
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【推荐2】【提出问题】我们知道，点和圆有三种位置关系（如图1）．已知在⊙O中，点A、B、C分别是圆外、圆上、圆内的点，点D、E是
上不与点B重合的任意两点，分别连接AD、AE、BD、BE、CD、CE，如何比较
、
、
的大小关系．
【解决问题】小邕利用已学知识判断和的大小关系，步骤如下：
解：
，理由如下：
如图2，延长DC与相交于点F，连接EF，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知
，
∵
是
的外角，
∴
，
∴
，
∴
．
(1)请参照小邕的解题步骤，比较和的大小关系，并说明理由．
【实践应用】
(2)如图3，海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，
．为了避免轮船P触礁，轮船P所在的位置与两座灯塔A、B的视角
度数的最大值是多少？并说明理由．
(3)2022卡塔尔世界杯正在如火如荼地进行中，全民足球热情高涨．因此某校举办了足球比赛，在其中一场比赛中（如图4），甲带球奔向对方球门
，当他带球冲到A点时，同伴乙已经冲到B点，同伴丙已经冲到C点．此时有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门；第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度越大，进球概率越大的角度考虑，请直接写出应选择第几种射门方式．
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和的大小关系，步骤如下：解：
，理由如下：如图2，延长DC与
相交于点F，连接EF，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，∵
是的外角，∴
，∴
，∴
．(1)请参照小邕的解题步骤，比较
和的大小关系，并说明理由．【实践应用】
(2)如图3，海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，
．为了避免轮船P触礁，轮船P所在的位置与两座灯塔A、B的视角度数的最大值是多少？并说明理由．(3)2022卡塔尔世界杯正在如火如荼地进行中，全民足球热情高涨．因此某校举办了足球比赛，在其中一场比赛中（如图4），甲带球奔向对方球门
，当他带球冲到A点时，同伴乙已经冲到B点，同伴丙已经冲到C点．此时有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门；第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度越大，进球概率越大的角度考虑，请直接写出应选择第几种射门方式．
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