【推荐1】综合与探究
如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．

(1)分别求出抛物线与直线的函数表达式；
(2)当时，求的值；
(3)若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点E，过点P作的平行线交x轴于点F，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线y沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点G是新抛物线的顶点，点M为新抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点C，G，M，N为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

【推荐3】如图1，以点M（1，4）为顶点的抛物线与直线y＝kx+b 交于A，B两点，且点A坐标为（4，﹣），点B在y轴上．

(1)求直线和抛物线解析式；
(2)若点D是抛物线上位于直线AB上方的一点（如图2），过点D作DE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，求线段DF长度的最大值；
(3)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使以点A，M，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】正方形的边长为4，是上的一个动点，过点作，交的延长线于点，交对角线所在的直线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）设，当为何值时，的面积为1；
（3）随着点在射线上的运动，的值是否会发生变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由．

【推荐1】如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．

（1）当点在上时，求点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；
（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；
（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．

【推荐2】在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
   
(1)在图1将线段绕点C逆时针旋转，画出对应线段；
(2)在图1在边上画点E，使（保留画图过程的痕迹）；
(3)在图1连接，画点E关于直线的对称点F．
(4)如图2，点M是与竖网格线的交点，在上找一点N，使．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点横坐标为，抛物线与轴交于点A和点，与轴交于点，且，点是抛物线上的动点（不与点A，，重合）．设点的横坐标为，过点作轴，垂足为点．

(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)若点在第三象限，且，求的值；
(3)连接，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求的值．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．

(1)求过A，B，E三点的抛物线的解析式；
(2)求证：四边形AMCD是菱形；
(3)请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图：已知关于x的二次函数y=x²+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；
(3)有一个点M在线段CB上运动，作MN⊥x轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，△BCN的面积最大，求最大面积.

【推荐3】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点E的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．