【推荐1】在中，．

   

(1)如图1，点分别在上，，连接分别为，的中点，请直接写出和的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，是内一点，为等腰直角三角形，，连接，点为的中点，连接，判断与的关系并证明；
(3)如图3，是外一点，为等腰直角三角形，，点为的中点，连接，已知，直接写出的值为______．

【推荐3】在求线段最值问题中，我们常通过寻找（或构造）待求线段的“关联三角形”来解决问题．“关联三角形”中除待求线段外的两条线段的长度是已知（或可求的），再利用三角形三边关系定理求解，线段取得最值时“关联三角形”不复存在（即三顶点共线）．

例：如图1，，矩形的顶点A，B分别在边，上，当B在边上运动时，A随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点D到点O的最大距离是多少？
分析：如图1，取的中点E，连接DE、OE，则中，为待求线段，，的长是可求的，即为待求线段的“关联三角形”，在中利用三角形三边关系定理可以得到的不等式，当点O，E，D三点共线时（如图2），“关联三角形”不存在，此时可得到的最值．
(1)根据上面的分析，完成下列填空：
解：如图1，取的中点E，连接DE，OE．
在中，，
在中，，
在中，，即______，
如图2，当点O，E，D三点共线时，_________，
综上所述：，即点D到点O的最大距离是________．
(2)如图3，点P在第一象限，是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________．
(3)如图4，点E，F是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，试求长度的最小值．

【推荐3】数学课上，老师给出题目：如图所示，在中，，点，分别是边和边上的动点，且，连接，．请探究是否存在最小值？
并说明理由．
嘉淇的想法是把和转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．
   
(1)在射线上取点，使，把绕点顺时针旋转，使点落在点处，点落在点处．
①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出，并连接；
②求证：．
(2)在（1）的基础上，请你通过探索，求出的最小值，并直接写出此时的长度．