【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点，点在直线上，直线经过点和点．

(1)求直线的函数表达式；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)是直线上一动点，若，求点的坐标．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．运动时间为t秒．请回答下列问题：

(1)求的面积y关于t的函数解析式；
(2)在直角坐标系中画出y的图像，并写出函数y的一条性质；
(3)是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，边长为4的正方形AOCD的顶点A、C分别在y轴和x轴上，点P的坐标为（2，0），以点P为圆心，OP的长为半径向正方形内部作一半圆，交线段DF于点F，线段DF的延长线交y轴于点E，DF=DC.
（1）求证：DF是半圆P的切线；
（2）求线段DF所在直线的解析式；

【推荐1】请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

(1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
(2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．

【推荐2】如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．

(1)如图1，在中，，E为中点，连接．求证：四边形为理想四边形；
(2)如图2，是等边三角形，若为理想对角线，为使四边形为理想四边形，小明同学给出了他的设计图（见设计后的图），其中圆心角；请你解释他这样设计的合理性．
(3)在（2）的条件下，
①若为直角三角形，，求的长度；
②如图3，若，请直接写出x，y，z之间的数量关系．

【推荐3】【方法尝试】如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线．求证：．
【类比迁移】如图2，在和中，，， ，，．将绕点在平面内逆时针旋转，设旋转角为，连接，．
①请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点B，D，E在同一直线上时，求线段的长．
【拓展延伸】如图3，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最值．

【推荐1】（1）如图1，矩形中，点、分别在线段、上，点与点关于对称，点在线段上，连接、、交于点．求证：四边形是菱形；
（2）如图2，矩形中，，点、分别在线段、上，点与点关于对称，点在线段上，，求的长；
（3）如图3，有一块矩形空地，，，点是一个休息站且在线段上，，点在线段上，现要在点关于对称的点处修建一口水井，并且修建水渠和，以便于在四边形空地上种植花草，余下部分贴上地砖．种植花草的四边形空地的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
              

【推荐2】提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE
分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．
学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．
解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．
问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【推荐3】已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第二象限内左等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如图1所示．

（1）填空：AB=        ，BC=            ．
（2）将△ABC绕点B逆时针旋转，
①当AC与x轴平行时，则点A的坐标是
②当旋转角为90°时，得到△BDE，如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式．
③在②的条件下，旋转过程中AC扫过的图形的面积是多少？
（3）将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，点C′为直线AB上的一点，请直接写出△ABC扫过的图形的面积．

【推荐1】如图1，矩形中，，，半径为的与线段相切于点M．圆心P与点C在直线的同侧，沿线段从点B向点D滚动．

发现：＝           ；的度数为           ；
思考：
①当切点M与点B重合时，求与矩形重叠部分的面积；
②在滚动过程中如图2，求的最小值；
探究：若与矩形的两条对角线都相切，求此时线段的长；并直接写出的值．

【推荐2】如图，是的直径，点E为弧的中点，、交于点D，过A的切线交的延长线于F．
   
(1)求证：；
(2)若，求的值．

【推荐3】如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．

(1)求证：；
(2)若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形的形状，并说明理由；
②当时，求，与围成阴影部分的面积．