【推荐1】定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．

(1)利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形______（填写序号）
①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形
(2)如图1，在对角互余四边形中，，且，．若，求四边形的面积和周长．
(3)如图2，在四边形中，连接，，点是外接圆的圆心，连接，．求证：四边形是“对角互余四边形”；
(4)在（3）的条件下，如图3，已知，，，连接，求的值．（结果用带有a，b的代数式表示）

【推荐2】定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
   
理解：
（1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出2个即可）；
（2）①如图2，在四边形中，，，对角线平分．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由；
②若，求的值．
运用：
（3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长．

【推荐3】如图，在中，，，，在上取一点，使，连接，分别过点，点，作，，交点为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，交于点，连接，．设运动时间为，解答下列问题：

(1)当为何值时，点？
(2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接，是否存在某一时刻，使得垂直平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】操作：将一个含30°角的直角三角形放在一长方形纸片上，
（1）如图1所示，直角顶点P在长方形的边AB上，直角边交长方形的两边AD、BC于点E、F，如果图中的∠1=140°，那么∠2=      度．
（2）如图2所示，直角顶点P在长方形内，且长方形的顶点A、B在∠P的直角边上，那么图中的∠1与∠2会有怎样的关系？为什么？
（3）如果将30°角如图3摆放，使得长方形的顶点A、B在30°角的两边上，此时，你认为图中的∠1与∠2会有怎样的关系？请直接写出你的结论：             .

【推荐3】如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题：

(1)AD＝______cm，BC＝______cm．
(2)设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形．
(3)如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．

【推荐1】已知正方形中与交于O点，点M在线段上，作直线交直线于E，过D作于H，设直线交于N．

   

(1)如图1，当M在线段上时，求证：；
(2)如图2，当M在线段上，连接，当时，求证：；
(3)在图3，当M在线段上，连接，当时，求证：．

【推荐3】如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连接CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N
（1）如图1，当点F为BE的中点时，求证：AM=CE；
（2）如图2，若==n（n≥3）时，请直接写出的值；
（3）若矩形ABCD（AB＞BC）对角线AC交MN于T，H为边BC上一点，∠CMH=45°且=（如图3）．若CF平分∠ACB，请直接写出的值．

【推荐2】如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是        ，∠MNP的大小为        ；
(2)探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：当∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，AD＝AE＝6时，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请求出△MNP面积的最大值．

【推荐3】如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．点P从点A开始沿射线AM运动，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m(m≥0)，当点Q恰好落在直线l上时，点P停止运动．
(1)在图①中，当∠ACP＝20°时，求∠BQC的大小；
(2)在图②中，已知BD⊥l于点D，QE⊥l于点E，QF⊥BD于点F，试问：∠BQF的大小是否会随着点P的运动而改变？若不会，求出∠BQF的大小；若会，请说明理由．
(3)在图③中，连接PQ，记△PAQ的面积为S，请求出S与m的函数关系式(注明m的取值范围)，并求出当m为何值时，S有最大值？最大值为多少？