【推荐1】如图，二次函数y＝﹣x²+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．
（1）点D的坐标是　        ；
（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．
①当n时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　　．

【推荐3】（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a)，B(a，0)(a>0)．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为      ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE， C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值?如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．

【推荐1】如图，两个同心圆的圆心为O，两圆的半径分别为5，3，其中A，B两点在大圆上，C，D在小圆上，且∠AOB=∠COD．
（1）求证：AC=BD；
（2）若∠AOB=120°，求线段AC，弧CD，线段BD，弧AB组成的封闭图形的面积；
（3）若AB与小圆相切，分别求AB，CD的长．

【推荐2】已知结论：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，请利用这个结论进行下列探究活动.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=，D为AB中点，P为AC上一点，连接PD，把△APD沿PD翻折得到△EPD，连接CE.

（1）AB=_____,AC=______.
（2）若P为AC上一动点，且P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，设P点运动时间为t秒.
①当t=_____秒时，以A、P、E、D、为顶点可以构成平行四边形.
②在P点运动过程中，是否存在以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点．

（1）求证：．
（2）当平分，，，求弦的长．

【推荐1】【感知】如图1，中，，，则的度数为___________；
【探究】如图2，四边形是一张边长为4的正方形纸片，E，F分别为，的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在上的点处，折痕交于点G，试求的度数和的长；
【拓展】若矩形纸片按图3所示的方式折叠，B，D两点恰好重合于对角线的中点O（如图4），当时，请直接写出的长．
   

【推荐2】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

　

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点在上时，______°，______°；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

【推荐3】在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到了线段．
（1）如图，若点刚好落在折痕上时，
①过作，求证：；
②求的度数；
（2）如图，当为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，请直接写出的长．

【推荐1】如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上， AD=AE ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是______，∠MPN的度数是______；
(2)探究证明
若△ABC为直角三角形， ∠BAC=90° ， AB=AC ，点DE分别在边AB，AC上， AD=AE，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图2．连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
若△ABC中∠BAC=120°， AB=AC=13，点D，E分别在边AB，AC上， AD=AE=5 ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．
①△PMN的是______三角形．
②若△PMN面积为S，直接利用①中的结论，求S的取值取值范围．

【推荐2】定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在△ABC与△AED中，BA＝BC，EA＝ED，且△ABC～△AED，所以称△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接EB，DC，则称为“关联比”．

下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：
(1)当△ABC与△AED为“关联等腰三角形“，且α＝90°时，
①在图1中，若点E落在AB上，则“关联比”＝ ；
②在图2中，探究△ABE与△ACD的关系，并求出“关联比”的值．
(2)如图3，
①当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝120°时，“关联比”＝     ；
②猜想：当△ABC与△AED为“关联等腰三角形”，且α＝n°时，“关联比”＝      ．
（直接写出结果，用含n的式子表示）
[迁移运用]
(3)如图4，△ABC与△AED为“关联等腰三角形”．若∠ABC＝∠AED＝90°，AC＝4，点P为AC边上一点，且PA＝1，点E为PB上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．

【推荐3】如图，是的直径，是圆上一点，弦于点，且．过点作的切线，过点作的平行线，两直线交于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）连接，若的半径为4，求的长．