【推荐2】在四边形中，是边的中点．

(1)如图1，若平分，则线段之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明；
(2)如图2，平分平分，若，则线段之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明；
(3)如图，若，求线段长度的最大值．

【推荐3】如图，是的中线，是线段上一点(不与点A重合)．交于点，，连接．
   
(1)如图，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图，当点不与重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
(3)如图，延长交于点，若，且，求的度数．

【推荐1】如图，在直角中，，，，D是边上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作边的垂线，交线段于点E，点F是线段的中点，作，交射线于点H，交射线于点G．

(1)求证：；
(2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当时，求的长．

【推荐2】如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点．

(1)求k的值；
(2)如图2，点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
(3)如图3，以线段为对角线作正方形，点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

【推荐3】已知正方形，点在对角线上，交于，交于，，垂足为点，求证：

(1)；
(2)；
(3)．

【推荐2】□ABCD，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，BE＝AB．

(1)如图1，求证：四边形BDCE是菱形；
(2)P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．
①当∠A＝60°时，如图2，求证：CD＝PB+BN．
②当∠A＝45°时，如图3，线段CD，PB，BN的数量关系如何？（请直接写出你猜想的结论）

【推荐1】问题背景：在学习平行四边形和轴对称图形时，我们曾总结出以下结论结论1：如图1所示，过平行四边形对角线交点的任意一条直线平分平行四边形的周长和面积．菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形．
结论2：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线（过圆心的直线）都是圆的对称轴，都平分圆的面积和周长．

问题探究：
（1）在图2中作一条直线，使它同时将正方形和圆都分成面积相等的两部分；
（2）如图3，点是矩形内一点，，，点与坐标原点重合，、分别位于、轴正半轴，，直线经过点将矩形分成面积相等的两部分，请直接写出直线的解析式；
（3）如图4，在平面直角坐标系中，四边形是某医院筹建的新冠肺炎患者隔离区用地示意图，，，，，．医院将隔离区护士站（其占地面积不计）设在点处，为了方便急救，准备过点修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所在的直线将四边形分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知P是上一点，过点P不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接、，若．

(1)如图1，当，，时，求的半径；
(2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，若，探究直线与的位置关系，并证明．