【推荐1】如图，在中，是边的中点，是上靠近点的三等分点，连接，延长至点，使得，连接．
   
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)与交于点，若，求证：是的中点；
(3)在（2）的条件下，连接，求的取值范围．

【推荐2】已知：⊙O是的外接圆，直径AB交CD于点E．
              
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点D作于点G，交⊙O于点F，连接BF，若DC平分∠ADF，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作交DG于点K，在BF上取一点N，连接KN、GN，使，若，，求线段GN的长．

【推荐3】如图，在中，是的平分线．

(1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________．
(2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：．
(3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数．

【推荐1】已知，矩形，，对角线、交于点O，，点M在射线上，满足，作于E，的延长线交于F

(1)如图1，点M在线段上
①依题意补全图形，并直接写出______（用含的式子表示）
②连接，请用等式表示线段与的数量关系，并证明．
(2)当时，设，，请直接写出线段的长（用含m、n的式子表示）

【推荐3】如图1，在矩形ABCD中，P是BC上的点，ΔABP沿AP折叠B点的对应点是M点，延长PM交直线AD于点E．

(1)求证：EA＝EP
(2)如图2，Q是AD上的点，QD＝BP；ΔCDQ沿CQ折叠D点的对应点是N点，且P、M、N、Q在同一直线上．
①若AB＝4，AD＝8；求BP的长．
②若M、N互相重合；求的值；（自己画草图）
(3)如图3，Q是AD上的点，QD＝BP；ΔCDQ沿CQ折叠D点的对应点是N点，若AB＝4，MN的最小值是1；求AD的长．

【推荐1】如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C，若．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，抛物线的对称轴交x轴于Q，P为第一象限对称轴右侧抛物线上一点，连接、，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交抛物线对称轴于点M，求M点坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G是x轴下方对称轴上一点，在抛物线对称轴右侧作矩形，使得，连接并延长交第三象限抛物线于H，T为上一点，连接，交于N，若，，求点H的横坐标．

【推荐2】在菱形中，对角线，交于点，，是线段上一点，连接如图，的角平分线交于点交于点若，交于点，交于点，过点作，交于点．

(1)当时，求的面积；
(2)求证：；
(3)如图，若，连接，过点作于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接如果，在旋转过程中，当值最大时，直接写出的面积．

【推荐3】如图1，在正方形中，点M为边上一点，过点M作且，连接，点P，Q分别为的中点，连接．

(1)证明：；
(2)将图1中的绕正方形的顶点D顺时针旋转．
①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；
②若，在绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段的长．

【推荐1】在菱形中，对角线与相交于，为边上的动点，过点作射线，使，交射线于．

(1)如图1，为上一点，且为重心，求的值；
(2)如图2，当运动到中点时，射线恰好过的重心．
①求的值；
②若，过作交射线于，连接，，在点从运动到的过程中，求折线段扫过的图形面积．

【推荐2】已知正方形，在和边上各有一点E，F，且，连接，分别取的中点M，N，连接.
   
(1)如图1，连接.
①求证：.
②求的度数.
(2)如图2，将绕点C旋转，当在正方形外部时，连接，试探究与的数量关系．