【推荐1】如图，是的直径，且点为上的一点，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，作直线交于点，且．
（1）证明：是的切线；
（2）设的半径为5，，求线段的长．

【推荐2】如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆于点，交于点，且．

(1)判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，，求的长．

【推荐3】在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片进行如下操作：

   

【初步探究】如图1，折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平，则与位置关系为_______，与的数量关系为_______；
【再次探究】如图2，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，求的值；
【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当时，求的长．

【推荐1】已知：平行四边形的对角线、相交于点，过点作且，连接．得到四边形．

（1）如图（1），在平行四边形中，若，判断四边形的形状，并证明；
（2）如图（2），在平行四边形中，若，判断四边形的形状，并证明；
（3）如图（3），在平行四边形中，若，，判断四边形的形状，并证明．

【推荐2】课本再现
思考
我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形．
定理证明

（）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在平行四边形中，，是它的两条对角线，．
求证：平行四边形是矩形．
知识应用
如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且．
（）试判断四边形的形状，并说明理由．
（）过作于，，，求的长．

【推荐3】如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若且，已知，求的长．

【推荐1】

(1)已知菱形的边长为4，为等边三角形，当点P与点D重合，点E在对角线上时（如图1所示），求的值；
(2)在上面的问题中，如果把点P沿方向移动，使，其余条件不变（如图2），你能发现的值是多少？请说明理由；
(3)在原问题中，当点P在线段的延长线上，点E在的延长线上时（如图3），设，则线段的长与m有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【推荐2】如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分．过点C作交的延长线于点E，连接．
   
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，则______．

【推荐3】如图，在菱形ABCD中，AD∥x轴，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0）．CD边所在直线y₁＝mx＋n与x轴交于点C，与双曲线y₂＝（x＜0）交于点D．   
（1）求直线CD对应的函数解析式及k的值．
（2）当x＜0时，使y₁－y₂≤0的自变量x的取值范围为         ．

【推荐1】如图，在中，过点B作，垂足为E，过点C作，交的延长线于点．求证：四边形是菱形．

【推荐3】已知：如图，在△ABC中，∠BAC是钝角．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ACB的角平分线交AB于点D，作线段CD的垂直平分线分别交AC于点E，交BC于点F．（保留作图痕迹，不写做法和结论）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE、DF，猜想四边形CEDF是矩形、菱形、正方形中的哪种特殊四边形，并证明你的结论．