【推荐1】将一张矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合）．沿折叠该纸片，点的对应点为，设．

   

(1)如图①，当时，求的度数及点的坐标；
(2)如图②，若点在第四象限，与交于点，试用含有的式子表示折叠后与矩形重叠部分的面积，并直接写出的取值范围；
(3)若折叠后重叠部分的面积为，当时，直接写出的取值范围．

【推荐2】定义：将函数C₁的图象绕点P(m，0)旋转180°，得到新的函数C₂的图象，我们称函数C₂是函数C₁关于点P的相关函数。例如：当m=1时，函数y=(x-3)²+9关于点P(1，0)的相关函数为y=-(x+1)²-9．
（1）当m=0时，
①一次函数y=-x+7关于点P的相关函数为_______；
②点A(5，-6)在二次函数y=ax²-2ax+a(a≠0)关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y=(x-2)²+6关于点P的相关函数是y= -(x-10)²-6，则m=_______
（3）当m-1≤x≤m+2时，函数y=x²-6mx+4m²关于点P(m，0)的相关函数的最大值为8，求m的值．

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，对于图形G和图形M，它们关于原点O的“中位形”定义如下，图形G上的任意一点P，图形M上的任意一点Q，作△OPQ平行于PQ的中位线，由所有这样的中位线构成的图形，叫图形G和图形M关于原点O的“中位形”．
已知直线y＝x＋b分别与x轴，y轴交于A、B，图形S是中心为坐标原点，且边长为2的正方形．
（1）如图1，当b＝2时，点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是　 　（请直接写出答案）；
（2）如图2，若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点，求b的取值范围；
（3）如图3，当b＝﹣6时，图形S沿直线y＝x平移得到图形T，若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围．

【推荐2】（1）写出图1中函数图象的解析式            ；

（2）如图2，过直线上一点作轴的垂线交的图象于点，交直线于点．
①试比较与的大小，并证明你的结论；
②若时，求的值．

【推荐3】如图1，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，且．

(1)求点的坐标和直线的函数表达式；
(2)如图2，设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①当的面积为时，求点的坐标；
②当时，求点的坐标．

【推荐1】探究性学习
(1)【问题初探】
在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，且．过A作于点E．求证：．

   

①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．

   

②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

   

(2)【类比分析】
张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答．
如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中是边上的中线，连接交与点F．求证：．

   

(3)【学以致用】
如图，在中，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若， ，求的面积．

   

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），AB＝8，C点到x轴的距离CD为2，且∠ABC＝30°．

（1）求点C坐标；
（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，请求出这个最小值；
（3）如图3，将△ACB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B′G′H′，在平移过程中，设直线B′H′与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B′MG′为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐1】如图①，在中，，，．动点从点出发，在上以每秒5个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿折线以每秒7个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，以、为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒．

(1)用含的代数式表示线段的长；
(2)当点在内部时，求的取值范围；
(3)当的边将平行四边形的面积分为1：2两部分时，求的值；
(4)如图②，点为的中点，连接，作点关于直线的对称点，当时，直接写出的值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两轴于点，点为线段的中点，点在线段上，且的长是方程的根．
       
(1)求点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)在平面内是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，不必说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）．点Q从原点出发，沿着y轴正方向运动，动点P位于点A左侧，且AP＝2OQ，以OP，QP为邻边构造▱POBQ，如图1，设OQ＝n．

(1)当点P运动到线段AO的中点时，求n的值及点B的坐标；
(2)▱POBQ的面积能否等于4？若能，求出n的值；若不能，请说明理由：
(3)如图2，点B关于原点的中心对称点为点，连接A，O，当n为何值时，为等腰三角形．