【推荐2】如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，．

(1)求的半径r的长度；
(2)求
(3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值

【推荐3】如图，在中，，与的角平分线相交于点，的延长线交的外接圆于点，连接．

(1)求证：；
(2)证明：点、、在以点为圆心的同一个圆上；
(3)若，，求内心与外心之间的距离．

【推荐1】已知在矩形中，，，与对角线相切．
（1）如图1，求的半径；
（2）如图2，点是上一个动点，连接，，交于点，若，求的度数和弧的长；
（3）如图，对角线与交于点，点是上一个动点，设点到直线的距离为，当时，请直接写出度数的取值范围．
        

【推荐2】如图①，在矩形中，，，点、分别是、的中点，点是折线段上一点．

（1）点到直线距离的最大值是______．
（2）如图②，以为直径，在的右侧作半圆．
①当半圆经过点时，求半圆被边所在直线截得的弧长；（注：，）
②当半圆与边相切时，设切点为，求的值；
（3）沿所在直线折叠矩形，已知点的对应点为，若点恰好落在矩形的边上，直接写出的长．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点，过点作，交轴于点．

(1)直接写出点的坐标；
(2)若点在第二象限，且在直线上方．
①连结，设线段交于点，求的最大值；
②如图2，过点作，交延长线于点，若，求的值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，其中，

(1)求该抛物线的表达式；
(2)点 P 是直线下方抛物线上一动点，过点 P 作于点D，求的最大值及此时点 P 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点 E 为点 P 的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点 F，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点 Q 的坐标，并把求其中一个点 Q 的坐标的过程写出来．

【推荐3】如图，为的直径，C、D为圆上两点，，于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长；
(3)在（2）的条件下，求的值．

【推荐1】如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．

（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是     ；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

【推荐2】问题：如图（1），在中，，，，试探究满足的等量关系．

[探究发现]
小明同学利用图形变换，将绕点C逆时针旋转得到，连接，由已知条件易得，，根据“边角边”可证       ，得，在中，由       定理，可得，得，可得之间的等量关系是        ．
[实验运用]
（1）如图2，在正方形中，的顶点E、F分别在边上，高与正方形的边长相等，求的度数．
（2）在（1）条件下，连接，分别交于点M、N，若，运用小明同学探究的结论，求正方形边长以及的长．

【推荐3】数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知中，，，，点为平面内不与点、重合的任意一点，将线段绕点顺时针旋转，得线段，、分别是、的中点，设直线与直线相交所成的较小角为，探究的值和的度数与、、的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1)填空：
【问题发现】
小明研究了时，如图1，求出了__________，__________；
小红研究了时，如图2，求出了__________，__________；
【类比探究】
他们又共同研究了时，如图3，也求出了；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：__________（用含、的式子表示）；__________（用含的式子表示）．
(2)求出时的值和的度数．