【推荐1】如图1，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C作直线，交x轴于点B，且线段．

(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点D是线段上一点，点E在的延长线上，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G为第四象限内一点，且点E的横坐标小于点G的横坐标，连接，且，连接交x轴于点F，使．点M为第二象限内一点，连接交x轴于点P，交y轴于点N，连接，使，若，，求点N的坐标．

【推荐2】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，过点的直线与轴交于点，交抛物线于点．
   
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)如图1，点是直线上方第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；
(3)如图2，若点在抛物线上，点在轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．

【推荐3】等腰中，，点D为AC边上一点，连接BD并延长至点F，连接AF，作于点E．

（1）如图1，若，，，求EF的值；
（2）如图2，连接AE，若AE平分，猜想线段CE、AE、BF之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，点M在等腰内，点N在等腰外，，，连接CN，线段AK是中CN边上的中线，若，，直接写出的值．

【推荐1】在正方形ABCD中，边长为2．点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，，其中EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF．

(1)如图1，①若时，求线段CF的长：
②当点E在线段BC上运动时，求证：．
(2)如图2，过点B作交EQ于点G，过点D作所在的直线于点H，求HG的最小值．

【推荐2】如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG，易证BG=AE且BG⊥AE．

(1)如图2，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），试猜想线段BG和AE的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（90⁰＜α≤360⁰），
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图3证明你的结论；
②若BC=DE=6，当AE取最大值时，求AF的值及此时α的度数．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．

(1)如图1，当点P在线段BC上时，连结OQ，则△OPQ是         三角形；△COP≌△         ；线段BQ与CP的数量关系为           ；∠PBQ的度数
为            (请直接写出)
(2)当点P在CB延长线上时（如图2）和BC延长线上时（如图3），（1）中的线段BQ与CP的数量关系是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（图2、图3选择一种情况写出证明过程即可）
(3)如图2，若∠BPO＝15°，则BQ与BP的数量关系为            ；
(4)如图3，若∠BPO＝15°，AB＝，则PQ的长为      .             

【推荐2】如图1，抛物线y＝﹣x²+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ∥y轴交BC于Q，当线段PQ的长度最大时，在x轴上找一点M，使PM+CM的值最小，求PM+CM的最小值；
（3）抛物线的顶点为点E，连接AE，在抛物线上是否存在一点N，使得直线AN与直线AE的夹角为45度，若存在请直接写出满足条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．