【问题初探】：（1）如图①，在
中，点
、
分别在边
、
上，连接
，∥
，
．若
，则的长为______；
【问题深入】：（2）如图②，在扇形
中，点
是
上一动点，连接，，
，
，求四边形
的面积的最大值；
【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合
年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展年西安市文明旅游示范单位评选工作
某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场
，其大致示意图如图③所示，其中
∥，
米．点处设立一个自动售货机，点是的中点，连接
，
，与交于点
，连接
，沿修建一条石子小路（宽度不计），将
和
进行绿化．根据设计要求，
．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．
中，点、分别在边、上，连接，∥，．若，则的长为______；【问题深入】：（2）如图②，在扇形
中，点是上一动点，连接，，，，求四边形的面积的最大值；【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合
年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展年西安市文明旅游示范单位评选工作某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图③所示，其中∥，米．点处设立一个自动售货机，点是的中点，连接，，与交于点，连接，沿修建一条石子小路（宽度不计），将和进行绿化．根据设计要求，．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．
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更新时间：2023-05-17 22:55:45
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(0.4)
【推荐1】如图，等边内接于
，
是上任一点（点不与点
、
重合），连接
、
，过点作
交
的延长线于点．
（1）求
和
的度数；
（2）求证：
；
（3）若
，
，求四边形
的面积；
（4）在（3）的条件下，求的长度．
内接于，是上任一点（点不与点、重合），连接、，过点作交的延长线于点．（1）求
和的度数；（2）求证：
；（3）若
，，求四边形的面积；（4）在（3）的条件下，求
的长度．
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名校
【推荐2】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB：
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长
（1）求证：DE＝DB：
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长
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【推荐3】问题探究
（1）如图1，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且
＝2
，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP、CF⊥BP，垂足分别为E、F．求线段CF的长．
问题解决
（2）如图2，是某公园内“青少年活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．在AB上任取一点P，连接CP并延长，交⊙O于点D，连接AD、BD．过点P分别作PE⊥AD、PF⊥BD，垂足分别为E、F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“青少年活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．当AP＝30m时，试求室内活动区（四边形PEDF）的面积．
（1）如图1，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是
上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP、CF⊥BP，垂足分别为E、F．求线段CF的长．问题解决
（2）如图2，是某公园内“青少年活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．在AB上任取一点P，连接CP并延长，交⊙O于点D，连接AD、BD．过点P分别作PE⊥AD、PF⊥BD，垂足分别为E、F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“青少年活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．当AP＝30m时，试求室内活动区（四边形PEDF）的面积．
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【推荐1】已知，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，将边CD绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜120），得到线段CE，连接ED、ED或其延长线交∠BCE的角平分线于点F．
（1）如图1，若α＝20，直接写出∠E与∠CFE的度数；
（2）如图2，若60＜α＜120．求证：EF﹣DF＝CF；
（3）如图3，若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为 ．
（1）如图1，若α＝20，直接写出∠E与∠CFE的度数；
（2）如图2，若60＜α＜120．求证：EF﹣DF＝CF；
（3）如图3，若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为 ．
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(0.4)
【推荐2】（1）如图1，已知线段a，请用无刻度的直尺和圆规作Rt△ABC，使斜边AB＝a，∠A＝30°；
（2）如图2，已知矩形MNPQ中，MN＝6，若在边PQ上存在一点D，使∠MDN＝30°，则边NP长度的取值范围是 ．
（2）如图2，已知矩形MNPQ中，MN＝6，若在边PQ上存在一点D，使∠MDN＝30°，则边NP长度的取值范围是 ．
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(0.4)
【推荐3】新定义：如图1（图2，图3），在中，把边绕点A顺时针旋转，把边绕点A逆时针旋转，得到
，若
，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
【特例感知】
(1)①若是等边三角形（如图2），
，则
______________．
②若
（如图3），
， _____________．
【猜想论证】
(2)在图1中，当是任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点
作
且
，连接
，则四边形
是平行四边形）
【拓展应用】
(3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且与
不平行，
，
是
的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．
中，把边绕点A顺时针旋转，把边绕点A逆时针旋转，得到，若，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．【特例感知】
(1)①若
是等边三角形（如图2），，则______________．②若
（如图3），， _____________．【猜想论证】
(2)在图1中，当
是任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点作且，连接，则四边形是平行四边形）【拓展应用】
(3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且
与不平行，，是的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．
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【推荐1】如图，为的直径，为弦，
为的切线，C为切点，点E在上，
．连接
．
(1)求证：
；
(2)若
，求的长．
为的直径，为弦，为的切线，C为切点，点E在上，．连接．(1)求证：
；(2)若
，求的长．
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(0.4)
【推荐2】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．
（1）试判断四边形BEGF的形状并说明理由．
（2）求
的值．
（1）试判断四边形BEGF的形状并说明理由．
（2）求
的值．
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两点，且
，与y轴交于点
，其中
是方程
的两个根．
，交
的面积最大时，求点M的坐标；
在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴是否存在点F，使以A，D，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
解答题-问答题
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(0.4)
【推荐1】如图，在平面直角坐标系
中，抛物线
与直线
分别交于
轴、
轴上的
两点，设该抛物线与轴的另一个交点为点，顶点为点，联结交轴于点.
求该抛物线的表达式及点的坐标；
求
的正切值；
如果点
在轴上，且
，求点的坐标.
中，抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点，设该抛物线与轴的另一个交点为点，顶点为点，联结交轴于点.求该抛物线的表达式及点的坐标；求的正切值；如果点在轴上，且，求点的坐标.
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(0.4)
名校
【推荐2】在△ABC中，
，
，点M，N分别是AC，BC的中点，点P是直线MN上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转
得到线段PQ，连接AQ，CQ．
(1)【问题发现】如图1，当点P与点M重合时，线段CQ与PN的数量关系是 ，∠ACQ= °．
(2)【探究证明】当点P在射线MN上运动时（不与点N重合），（1）中结论是否一定成立？请利用图2中的情形给出证明．
(3)连接PC，当△PCQ是等边三角形时，请直接写出
的值．
，，点M，N分别是AC，BC的中点，点P是直线MN上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ，连接AQ，CQ．(1)【问题发现】如图1，当点P与点M重合时，线段CQ与PN的数量关系是 ，∠ACQ= °．
(2)【探究证明】当点P在射线MN上运动时（不与点N重合），（1）中结论是否一定成立？请利用图2中的情形给出证明．
(3)连接PC，当△PCQ是等边三角形时，请直接写出
的值．
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较难
(0.4)
【推荐3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，四边形PDEF是矩形，PD=2，PF=4，DE与AB边交于点G，点P从点B出发沿BC以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，伴随点P的运动，矩形PDEF在射线BC上滑动；点Q从点P出发沿折线PD﹣DE以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P，Q同时出发，当点Q到达点E时停止运动，点P也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）
（1）当t=1时，QD= ，DG= ；
（2）当点Q到达点G时，求出t的值；
（3）t为何值时，△PQC是直角三角形？
（1）当t=1时，QD= ，DG= ；
（2）当点Q到达点G时，求出t的值；
（3）t为何值时，△PQC是直角三角形？
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