【推荐1】如图，在中，．用直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹．）

(1)如图①，若点在边上，求作平行四边形，使得点、分别在、上；
(2)如图②，求作正方形，使得点、、分别在、、上．

【推荐2】如图，，平分．

(1)用尺规作图完成以下基本作图：作平分，分别交，于点E，O．连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论．）
(2)根据（1）中作图，证明四边形是菱形，请你补全证明过程．
证明：∵，
∴．
又∵平分，
∴①________，
∴，
∴②________，
同理：
∴③________，
又∵即，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是菱形．（④________）．

【推荐3】在△ABC中，∠ABC＝64°，BC≠AB.小华根据下列的作法在△ABC上作图，如图所示.按要求完成下列各小题.
作法：①以点B为圆心，适当长度为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N.
②分别以点M，N为圆心、大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O.
③连接BO并延长，交AC于点D.
(1)求∠ABD的度数.
(2)两个香料加工厂(分别是点A和点C)和一个居民区(点B)的位置示意图恰好是△ABC，两个香料加工厂想合资修建一个污水处理厂(P)，好将生产所得的污水处理到合格水平再排放.为了不污染居民的生活用水，计划该污水处理厂建设在线段BD的延长线上，并且该污水处理厂与两个香料加工厂的距离相等.请你判断能否找到满足上述条件的污水处理厂的位置？并在图中利用画图说明理由.(保留作图痕迹，不要求写作法)

【推荐1】如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点（顶点均在格点上），请按要求画格点三角形．

(1)在图1中画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称．
(2)在图2中画一个等腰，使其．

【推荐2】ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°；
（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB；
（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【推荐3】如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，
（1）若△CMN的周长为18cm，求AB的长．
（2）若∠MCN＝48°，求∠ACB的度数．
   

【推荐1】如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，且，求的半径与线段的长．

【推荐2】如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB=30米，AD=20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．
（1）DQ=10米时，求△APQ的面积．
（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．
   

【推荐3】如图，已知△ABC是等边三角形，以AC为斜边作Rt△ADC，∠ADC=90°，且AD∥BC，连结BD交AC于点E   

(1)求证：BC=2AD       
(2)若BC=4，求BE的长．

【推荐1】如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动；点沿边从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动．如果同时出发，用秒表示运动的时间．请解答下列问题：

（1）当为何值时，；
（2）当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？
（3）在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．

（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若AB＝13，AD＝12，求线段AE的长．

【推荐3】如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?