某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出
如图，在正方形
中，P为对角线
上一点，连接
，将绕点P逆时针旋转
，得到
，连接
．
(1)操作发现
当
时，
的度数为 ；
(2)数学思考
当
时，连接
，求证：
为直角三角形；
(3)拓展应用
若正方形的边长为4，直接写出的最大值．
问题提出
如图，在正方形
中，P为对角线上一点，连接，将绕点P逆时针旋转，得到，连接．(1)操作发现
当
时，的度数为 ；(2)数学思考
当
时，连接，求证：为直角三角形；(3)拓展应用
若正方形的边长为4，直接写出
的最大值．
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更新时间：2023-05-21 17:08:46
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较难
(0.4)
【推荐1】在
ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．
(1)如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①若CE=
ED，求∠ECF的度数；
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
(2)如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）②中得出的结论是否发生改变，给出证明．
ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．(1)如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①若CE=
ED，求∠ECF的度数；②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
(2)如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）②中得出的结论是否发生改变，给出证明．
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解答题-问答题
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(0.4)
名校
【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，已知
，
两点分别在
轴、
轴正半轴上，且
，
满足关系式
；
坐标为
，连接
、
，求
的面积；
(2)如图(2)，
是
邻补角的平分线，的反方向延长线与
的平分线交于点
，求
度数；
(3)如图(3)，以
为边长作
为等边三角形，
，
，若点
、点
分别是线段
、线段
上的两个动点，且
，
与
相交于点
，在点、点运动过程中，请问
的大小是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值．
，两点分别在轴、轴正半轴上，且，满足关系式；
坐标为，连接、，求的面积；(2)如图(2)，
是邻补角的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点，求度数；(3)如图(3)，以
为边长作为等边三角形，，，若点、点分别是线段、线段上的两个动点，且，与相交于点，在点、点运动过程中，请问的大小是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值．
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与
满足
，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
是“准直角三角形”，
，
，则
______ 
；
，
是
___（填“是”或“不是”）“准直角三角形”；
点
是“准直角三角形”，若
，则
的度数是______ ．
，若
是“准直角三角形”，请求出
的度数．
解答题-问答题
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(0.4)
【推荐1】如图，正方形
的边
、
在坐标轴上，点
的坐标为
．点从点A 出发，以每秒
个单位长度的速度沿轴向点
运动；点
从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线
相交于点
．
与轴交于点，连接
．设点运动的时间为
．
的度数为_________，点的坐标为___________（用
表示）；
(2)在
的运动过程中，直线
的解析式发生变化吗？如果不变，请直接写出直线的解析式；
(3)探索
的周长是否随时间的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
的边、在坐标轴上，点的坐标为．点从点A 出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接．设点运动的时间为．
的度数为_________，点的坐标为___________（用表示）；(2)在
的运动过程中，直线的解析式发生变化吗？如果不变，请直接写出直线的解析式；(3)探索
的周长是否随时间的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，点是矩形
的边
上的动点，以
为边向右上方作正方形．，若点在
上，求
的度数；
(2)如图
，若是的中点，求证：
；
(3)正方形的顶点运动到如图
位置，若
，
．设
，
，求与的函数解析式（不写自变量的取值范围）．
是矩形的边上的动点，以为边向右上方作正方形．
，若点在上，求的度数；(2)如图
，若是的中点，求证：；(3)正方形
的顶点运动到如图位置，若，．设，，求与的函数解析式（不写自变量的取值范围）．
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中，
，
，
，点E在
，
（k是常数），则线段AF，BF，CF之间满足什么数量关系，请说明理由．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】已知四边形是正方形，
是等腰直角三角形．
问题提出：
（1）如图1，当，
分别在边，
上，线段
与
的数量关系是 ，位置关系是 ．
类比探究：
（2）如图2，当绕点
逆时针旋转
时，试判断（1）中线段与的关系是否仍然成立，请利用图2给予证明；
拓展延伸：
（3）如图3，当绕点逆时针旋转时，延长交于点
，交于点．
，
，求线段
的长．
是正方形，是等腰直角三角形．问题提出：
（1）如图1，当
，分别在边，上，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．类比探究：
（2）如图2，当
绕点逆时针旋转时，试判断（1）中线段与的关系是否仍然成立，请利用图2给予证明；拓展延伸：
（3）如图3，当
绕点逆时针旋转时，延长交于点，交于点．，，求线段的长．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】综合与实践
已知，如图1，将一块45°角的直角三角板AEF与正方形ABCD的一个顶点A重合，点E，F分别在AD，AB边上，连接BE，DF，点G是DF的中点，连接AG．
(1)请猜想线段AG与BE的关系，并说明理由；
(2)如图2，把三角板AEF绕点A按逆时针旋转α（0°＜α＜90°）；
①AG与BE的关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由（提示：延长AG到点H，使GH＝AG）；
②若旋转角α＝30°，AE＝2，AB＝5，请直接写出线段BE的长度．
已知，如图1，将一块45°角的直角三角板AEF与正方形ABCD的一个顶点A重合，点E，F分别在AD，AB边上，连接BE，DF，点G是DF的中点，连接AG．
(1)请猜想线段AG与BE的关系，并说明理由；
(2)如图2，把三角板AEF绕点A按逆时针旋转α（0°＜α＜90°）；
①AG与BE的关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由（提示：延长AG到点H，使GH＝AG）；
②若旋转角α＝30°，AE＝2，AB＝5，请直接写出线段BE的长度．
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(0.4)
【推荐3】综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，
，
，D为
的中点，用两根小木棒构建直角，将项点放置于点D上，得到
，将绕点D旋转，射线
分别与边
交于E，F两点，如图1所示．
(1)操作发现：如图1，当E、F分别是的中点时，试猜想线段
与的数量关系是_____．
(2)类比探究：由图1抽象出图2，当E、F不是的中点，但满足
时，求证：
是等腰直角三角形．
(3)拓展应用：如图3，将两根小木棒构建的直角，放置于边长为2的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线
分别与
交于E，F两点，请求出四边形
的面积．
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，
，，D为的中点，用两根小木棒构建直角，将项点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线分别与边交于E，F两点，如图1所示． (1)操作发现：如图1，当E、F分别是
的中点时，试猜想线段与的数量关系是_____．(2)类比探究：由图1抽象出图2，当E、F不是
的中点，但满足时，求证：是等腰直角三角形．(3)拓展应用：如图3，将两根小木棒构建的直角，放置于边长为2的正方形纸板上，顶点和正方形对角线
的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，请求出四边形的面积．
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(0.4)
【推荐1】等边三角形
中，点是射线上的动点，将线段
绕点顺时针旋转60°得到线段，连接
.
(1)如图1，当点在线段上时，若连接
，则①
的形状是______；
②与的数量关系是______；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中②的结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)若
，在点运动的过程中，直接写出 
时的长.
中，点是射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接.
(1)如图1，当点
在线段上时，若连接，则①的形状是______；②
与的数量关系是______；(2)如图2，当点
在线段的延长线上时，（1）中②的结论是否仍然成立？请说明理由；(3)若
，在点运动的过程中，时的长.
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(0.4)
名校
【推荐2】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接AD，BE交于点F；
（1）求∠AFE的度数；
（2）连接FC，若∠AFC=90°，BF=1，求AF的长.
（1）求∠AFE的度数；
（2）连接FC，若∠AFC=90°，BF=1，求AF的长.
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解答题-计算题
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较难
(0.4)
名校
【推荐3】【问题情境】
如图，在四边形中，
，
，
，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转
，且长度变为原来的
倍，得到线段，作直线
交直线于点．数学兴趣小组着手研究为何值时，
的值是定值．
【探究实践】
老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现的取值与为定值的关系，再探究图中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．
经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．
（1）如图，小明发现：“当
，
时，点与点恰好重合，
的值是定值”．小华给出了解题思路，连接，易证
，得到与的数量关系是 ，的值是 ；
（2）如图，小华发现：“当
，
时，
的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接
，只要确定的长，就能求出的值，使得的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若
，请直接写出的值及的定值．
如图
，在四边形中，，，，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转，且长度变为原来的倍，得到线段，作直线交直线于点．数学兴趣小组着手研究为何值时，的值是定值．【探究实践】
老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现
的取值与为定值的关系，再探究图中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．
（1）如图
，小明发现：“当，时，点与点恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接，易证，得到与的数量关系是 ，的值是 ；（2）如图
，小华发现：“当，时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由；【拓展应用】
（3）如图
，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接，只要确定的长，就能求出的值，使得的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出的值及的定值．
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