【推荐1】已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形中，是一条对角线，，则点与点关于互为顶针点：若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点．
【初步思考】（1）如图2，在中，，，为外两点，，，为等边三角形．
①点与点______关于互为顶针点；
②求证：点与点关于互为勾股顶针点．
【实践操作】（2）在长方形中，．
①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹）
【思维探究】②如图4，点是线段上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长．

【推荐2】①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
   
②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）
   

【推荐3】在△ABC中，D为BC边上一点．
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．
①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
②若AB＝，BC＝3，∠B＝45°，求CD的取值范围．

【推荐2】如图，梯形中，，，，，，点E为上一点，且，点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．
   
(1)直接写出的长与的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出此时x的值．
   

【推荐3】如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
(1)如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
(2)如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．

【推荐1】如图，在正方形中，以为直径作半圆，点为半圆上一点，连结并延长交边于点，连结并延长交边于点，连结．

(1)求证：；
(2)当时，求的最小值；
(3)若，求的值．

【推荐2】如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

(1)连接，则______；
(2)如图2，若经过A、B、C三点，连接、，若与的周长之比为，求该抛物线的函数表达式；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接OP，抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】请仅用无刻度直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）

(1)如图1，已知和，在图1中，画一条直线分别平分和的面积．
(2)如图2，已知是的两条弦，，画一个含的直角三角形．
(3)如图3，是由小正方形组成的的网格，A、O都是格点，的半径是，B是与网格线的交点．
①在图3中，将半径绕点O顺时针旋转得到半径，画半径．
②在图3中，画弧的中点M．

【推荐1】已知抛物线过点和，与轴交于另一点，顶点为．
(1)求，满足的关系式；
(2)对于抛物线上的任意两点，，当时，恒有．
①求抛物线解析式；
②与的延长线交于点，在轴上方的抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出一个符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】问题提出
（1）如图①，和均为等腰直角三角形，且，连接、，则的值为______；
问题探究
（2）如图②，四边形是边长为4的正方形，点是上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接、当最小时求的面积；
问题解决
（3）随着社会的发展，农业观光园走进我们的生活．某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形，其中，，，．为了能够让广大游客更近距离观光，徜徉在大自然的海洋，设计师计划在之间修一条观光小路，为了方便市民观赏，想让最大．根据设计要求，求出当的最大时的面积．

【推荐3】在△ABC中，，，取一把含角三角板，把角的顶点放在边的中点P处，三角板绕点P旋转．

基础应用：
(1)如图1，当三角板的两边分别交边于点E、F，连接，试证明；
尝试应用：
(2)操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点F、E，连接，与相似吗？请说明理由；
(3)设，直接写出y与x的函数解析式．