【推荐1】如图，在正方形中，点M是边上的一点（不与B、C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到，连接、、，与边交于点E，与相交于点O．
   
(1)求证：；
(2)当平分时，求证：；
(3)当时，求的值．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，直线分别交x轴，y轴于点C，A，点B在x轴的负半轴上，且，作直线．

(1)求直线的解析式；
(2)点P在线段上（不与点A重合），过点P作轴交于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，在直线的右侧以线段为斜边作等腰直角，连接，以线段为直角边作等腰直角三角形，且，且点E在直线的右侧，则点E的坐标为__________．（用含有t的代数式表示）
(4)在（2）、（3）的条件下，若，则_____________．

【推荐3】如图，在正方形中，点P是对角线上的动点，点E在射线上，且，连接，O为的中点．
   
特例感知
（1）如图1，当点P在线段上时，请你直接写出线段与的关系．
类比迁移
（2）如图2，当点P在线段上运动时（点P不与点O、C重合），请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
探索发展
（3）如图2，请你猜想线段、、之间有何数量关系，并证明你的结论．

【推荐1】如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）线段AC的长度是　 　．
（2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　．

【推荐3】将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP、BP，求CP、DP的长；
（2）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时平行四边形的面积；
（3）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数（直按写出答案）.

【推荐1】这平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．

(1)如图1，当点落在边上时，点的坐标为______．
(2)如图2，当点落在线段边上时，与交于点．
①求证：；
②求点的坐标；
(3)在（1）的条件下，平面内有一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．

【推荐2】综合与实践

问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，在中，，． 将沿边上的中线剪开，得到和．
操作发现：
（1）①乐学小组将图1中的以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得，得到图2，与交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由．
②缜密小组将图1中的沿方向平移，与交于点M，与交于点N，得到图3，则四边形的形状           ．
实践探究：
（2）缜密小组又发现，当②中线段的长为时，图3中的四边形会成为正方形，求a的值．
（3）创新小组又把图1中的放到如图4所示的位置，点A的对应点与点D重合，点D的对应点在的延长线上，再将绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，交于点P，交AB于点Q，，此时线段的长是         ．

【推荐3】阅读下面材料：有公共顶点A的正方形与正方形按如图1所示放置，点E，F分别在边和上，连接，，M是的中点，连接交于点N．

(1)【猜想】线段与之间的数量关系是___________，位置关系是__________；
(2)【探究】将图1中的正方形绕点A顺时针旋转，使点G恰好落在边上，如图2，其他条件不变，线段与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
(3)【应用】在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长．

【推荐1】如图．已知是的直径，弦于点，点为上一点，连结并延长交的延长线于点，连结．

(1)求证：．
(2)若，
①求的值；
②当与的面积之比为时，求的值．
(3)若，求的值．

【推荐2】如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点．
①如图2所示，直线交线段于点，求的最小值；
② 如图3所示，连接过点作于，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，AD是的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作，交⊙O于点C．连接AC，过点C作，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且．

(1)证明：直线PC与相切；
(2)若AB＝9，BC＝6，求PC的长．