【推荐1】问题情境
综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．

探索发现
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当时，求证：．
（2）不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，当，则______度，当时，则_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．

【推荐2】探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点P不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点P作，……．

         

(1)填空：过点P作．
∴，
∵，，
∴ (                                                  )，
∴，
∴，
即．
(2)在图2中，猜测与之间的数量关系，并完成证明．
(3)善思小组提出：
①如图3，已知，则角之间的数量关系为 　　　　　　．(直接填空)
②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为 　　　　　　．(直接填空)

【推荐3】如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D．

（1）①的度数是_______度；
②∵，∴________．
（2）求的度数．
（3）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．

【推荐1】已知：，平分，于，，求的度数．

【推荐2】如图，的两边分别与的两边平行，即，．

(1)在图①中，射线与同向，与也同向；在图②中，射线与异向，与也异向；在图③中，射线与同向，与的异向，请问在上述三种情况下，与的关系怎样？为什么？
(2)根据上述情况，归纳概括出一个结论．
(3)在（1）（2）的探索归纳概括中，思考一下问题：若与的两边分别平行，且比的3倍少20度，能否求出的度数？

【推荐3】如图，已知，，，．
   
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．

【推荐1】如图，在所给网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）△ABC经过平移后得到△A₁B₁C₁，请描述这个平移过程；
（2）过点C画AB的平行线CD；
（3）求出△ABC的面积．

【推荐2】填空完成下列推理过程
已知：如图，BD⊥AC，EF⊥AC，点D、F分别是垂足，∠1＝∠4．

试说明：∠ADG＝∠C
解：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）
∴∠2＝90°∠3＝90°（垂直的定义）
∴∠2＝∠3（等量代换）
∴BD∥EF　 　
∴∠4＝∠5（两直线平行同位角相等）
∵∠1＝∠4（已知）
∠1＝∠5　 　
∴DG∥CB（内错角相等两直线平行）
∴∠ADG＝∠C　 　

【推荐3】如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，，和相交于点G．

(1)观察图形，写出图中所有与相等的角；
(2)线段和有怎样的位置关系，请判断并说明理由．

【推荐1】如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点E，F是的中点，连接并延长交于点G．

(1)求证：．
(2)若，，求的度数．

【推荐2】已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①求∠ABO的度数；
②当α为何值时，D为OB中点，并说明理由．
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．

【推荐3】如图1，在中，，D是上一点，且；

   

(1)求证：；
(2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示）
(4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果）