【推荐1】如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)延长，交于点，若，求的半径．

【推荐2】如图，为的外接圆的直径，点M为的内心，连接并延长交于点D，连接．

(1)求的大小；
(2)若，求的值．

【推荐3】如图，是的外接圆，是的直径，与交于点E，P是延长线上一点，，．

   

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．

【推荐1】已知，是的直径，是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点．
如图，求证：平分；
如图，直线与的延长线交于点，的平分线交于点，交于点，求证：；
在的条件下，如图，若，，求的长．
                            

【推荐2】如图，在中，，平分交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）．

【推荐3】抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行．在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳，分别与空竹相切于点，，连接左右两个绳柄，，经过圆心，交于点，，．
   
(1)求证：．
(2)若，，求两个绳柄之间的距离．

【推荐1】如图，在中，弦垂直于半径，垂足为D，点E在的延长线上，且．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．

【推荐2】如图，点、、都在上，过点作交延长线于点，连接，且，，．
   
(1)求证：是的切线；
(2)求由弦、与所围成的阴影部分的面积．（结果保留）

【推荐3】如图，在中，，点是的中点．以为直径的交于点，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．

（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E （不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，连接AD，求证：△ABC∽△EDA．

【推荐2】如图，在中，于点，
   
(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐3】已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°
(1) 如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF
① 求证：△CAE∽△CBF
② 若BE＝1，AE＝2，求CE的长
(2) 如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且时．若BE＝1，AE＝2，CE＝3，则k＝__________