在综合实践课上，老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究．
【观察猜想】如图①，
和
均为等边三角形，当点E、D分别在
边上，易证：
，
．
【实践发现】如图②，将图①中的绕着点B逆时针旋转，连接
、
，线段与线段的数量关系为 ，直线与直线相交，所夹锐角为 °；
【类比探究】和均为直角三角形，
．
（1）观察感知：如图③，当
且点E、D分别在边上，易证：
；
（2）问题呈现：如图④，将图③中的绕着点B逆时针旋转，连接、．直线与直线交于点M．线段与线段的数量关系为 ，
°；
（3）探究证明：如图⑤，当
时，线段与线段的数量关系是什么？请说明理由，此时， °；
（4）拓展应用：在（3）的条件下，若
，
，将绕点B逆时针旋转一周，在整个旋转过程中，当点A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线的距离．
【观察猜想】如图①，
和均为等边三角形，当点E、D分别在边上，易证：，． 【实践发现】如图②，将图①中的
绕着点B逆时针旋转，连接、，线段与线段的数量关系为 ，直线与直线相交，所夹锐角为 °； 【类比探究】
和均为直角三角形，．（1）观察感知：如图③，当
且点E、D分别在边上，易证：；（2）问题呈现：如图④，将图③中的
绕着点B逆时针旋转，连接、．直线与直线交于点M．线段与线段的数量关系为 ， °；（3）探究证明：如图⑤，当
时，线段与线段的数量关系是什么？请说明理由，此时， °；（4）拓展应用：在（3）的条件下，若
，，将绕点B逆时针旋转一周，在整个旋转过程中，当点A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线的距离．
更新时间：2023-06-13 15:15:02
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【推荐1】如图，已知
三个内角的平分线文于点
，点
在
的延长线上，且
，
．
(1)求证：
；
(2)若
，求
的度数．
三个内角的平分线文于点，点在的延长线上，且，． (1)求证：
；(2)若
，求的度数．
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【推荐2】如图，在
中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接
．并延长交于点F，连接
交
于点G．
平分
；
(2)求证：
；
(3)若
，
，求
的值．
中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接．并延长交于点F，连接交于点G．
平分；(2)求证：
；(3)若
，，求的值．
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，
D是 
．
时， 求
的度数；
，求
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【推荐1】在平面直角坐标系
中（如图），已知抛物线
（
）与x轴交于点
和
，与y轴交于点
．抛物线的顶点为点．的坐标；
(2)将直线
绕点
顺时针旋转，交
轴于点
．此时旋转角
等于
．
①求点的坐标；
②二次函数
的图象始终有一部分落在
的内部，求实数
的取值范围．
中（如图），已知抛物线（）与x轴交于点和，与y轴交于点．抛物线的顶点为点．
的坐标；(2)将直线
绕点顺时针旋转，交轴于点．此时旋转角等于．①求点
的坐标；②二次函数
的图象始终有一部分落在的内部，求实数的取值范围．
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名校
【推荐2】阅读下面材料：
小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，
，PC＝2，求∠APB的度数；
小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造
，连接
，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）
参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且
，
，
．求∠APB的度数；
(3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝
，直接写出PA，PB和PF的数量关系．
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解题方法
【推荐3】已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝ 度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
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真题
【推荐1】如图，
是⊙O的弦，半径
，垂足为D，弦
与交于点F，连接，，．
；
(2)若
，
，
，求
的长．
是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．
；(2)若
，，，求的长．
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【推荐2】如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一摊积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部的距离
米，他与积水的距离
米，他的眼睛与地面的距离
米，则旗杆的高度
是多少米？
米，他与积水的距离米，他的眼睛与地面的距离米，则旗杆的高度是多少米？
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，在
；
，
，在
，
，在
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【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（12，−8），点B、C在x轴上，tan∠ABC＝
，AB＝AC，AH⊥BC于H，D为AC的中点，BD交AH于点M．
（1）求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；
（2）过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G，若将（2）中的抛物线沿直线l平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为E′（点E′在y轴右侧）．是否存在这样的抛物线，使△E′FG为等腰三角形？若存在，请求出此时顶点E’的坐标；若不存在，请说明理由．
，AB＝AC，AH⊥BC于H，D为AC的中点，BD交AH于点M．（1）求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；
（2）过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G，若将（2）中的抛物线沿直线l平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为E′（点E′在y轴右侧）．是否存在这样的抛物线，使△E′FG为等腰三角形？若存在，请求出此时顶点E’的坐标；若不存在，请说明理由．
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【推荐2】如图，在△ABC中，O为AC上的一点，以点O为圆心OC为半径的⊙O，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若∠BAD＝60°，⊙O的半径为3，则AD＝ .点D与⊙O的位置关系为 ．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若∠BAD＝60°，⊙O的半径为3，则AD＝ .点D与⊙O的位置关系为 ．
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，O为
的直角三角尺，直角顶点恰好落在边
，
，
于点E，
于点F，则
换成含
角的直角三角形，
，连接
，
，
，
，则四边形
的周长为______．
