【推荐1】某校九年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出100千克．
小强：如果以12元/千克的价格销售，那么每天可售出80千克．
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间存在一次函数关系．
小强：我发现每天的销售量在70千克至100千克之间．
那么当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润为320元？

【推荐2】增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

每月用气量	单价（元/m3）
不超出75m3的部分	2.5
超出75m3不超出125m3的部分	a
超出125m3的部分	a+0.25

（1）若甲用户3月份的用气量为60m³，则应缴费　 　元；
（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m³），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m³（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

【推荐3】某发电厂共有6台发电机发电，每台的发电量为300万千瓦/月．该厂计划从今年7月开始到年底，对6台发电机各进行一次改造升级．每月改造升级1台，这台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来提高20%．已知每台发电机改造升级的费用为20万元．将今年7月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的发电量设为y（万千瓦）．
（1）求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）如果每发1千瓦电可以盈利0.04元，那么从第1个月开始，至少要到第几个月，这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额ω₁（万元），将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额ω₂（万元）？

【推荐1】如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．

   

(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；
(2)点是轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，求点的坐标．
(3)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，请直接写出的最小值为___________．

【推荐2】已知如图，在△ABC中，AB=4， AC=2，∠BAC=60°，点D为AB的中点，E是AD上一点，F是CA延长线上一点，BE=CF，连结DF， G是DF的中点，设AE=x，△AGD的面积为y．

（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）判断CE与AG的数量关系，并说明理由．
（3）求y关于x的函数关系式，并求出当AG：AF=时y的值．

【推荐3】【综合与实践】
老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，和都是等腰直角三角形，，点D，E分别在边，上，连接，点M，P，N分别为，，的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系．
甲小组发现：，．并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程（片段前后证明过程已省略）：

【片段1】∵点P，M分别是，的中点，
，．（理由1）
【片段2】，（理由2）．
反思交流
(1)①填空：理由1：______________________；
理由2：______________________；
②图1中，与的位置关系是                           ．
(2)乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置．请判断的形状并证明：
(3)两小组的同学继续探究：把绕点C在平面内自由旋转，当，时，直接写出线段长度的最大值．

【推荐1】已知：如图，是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间，解答下列各问题：
   
(1)求的面积;
(2)当为何值时，是直角三角形？
(3)探究：是否存在某一时刻，使四边形的面积是面积的八分之五？如果存在，求出的值；不存在请说明理由．

【推荐2】如图，已知为圆的直径，是圆外一点，连结交圆于点的平分线交半圆于点，且，连结交于点．

(1)求证：；
(2)当，且直径时，求的长；
(3)当为直角三角形时，求的值．

【推荐1】如图，已知中，，．点D是所在平面内不与点A、C重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得到线段，连接、．
   
(1)如图1，当时，求证：．
(2)当时，请判断线段与之间的数量关系是_____，并仅就图2的情形说明理由．
(3)当时，且时，若，，点E在上方，求的长．

【推荐2】如图，为边上一点，，，为线段上一点，点，关于直线对称，于点，直线，交于点，连结，设．

(1)若，求用含的代数式表示的长；
(2)在（1）的条件下时，若，求的长；
(3)连接，若，与的面积之比为1：2，求的值．

【推荐3】如图，四边形内接于，为直径，和交于点，．

(1)求的度数；
(2)过作的平行线，交于，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由；
(3)在条件下过，分别作，的垂线，垂足分别为，，连接，交于，若，：：，求的半径．