【推荐1】如图①，在中，，是外接圆上一点，连接，过点作，交的延长线于点，交于点．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图②，若为直径，，，求的长．

【推荐2】如图，在四边形中，对角线与相交于点且，，过点作交于点．
   
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．

【推荐1】如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接．

        

(1)依题意补全图形；
(2)猜想的度数（用含α的式子表示），并证明．

【推荐3】如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上， AD=AE ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是______，∠MPN的度数是______；
(2)探究证明
若△ABC为直角三角形， ∠BAC=90° ， AB=AC ，点DE分别在边AB，AC上， AD=AE，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图2．连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
若△ABC中∠BAC=120°， AB=AC=13，点D，E分别在边AB，AC上， AD=AE=5 ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．
①△PMN的是______三角形．
②若△PMN面积为S，直接利用①中的结论，求S的取值取值范围．

【推荐1】综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，且与x轴的负半轴交于点C．
   
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，且，则n的取值范围是__________；
(3)P为直线上方抛物线上的一点，过点P作于点Q，求的最大值；
(4)若点D在直线上方的抛物线上，且，直接写出点D的坐标．

【推荐2】 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠ABD的平分线BE交AC于G，交AD于F，且DE⊥BE．

（1）求证：DE=BF；
（2）若BG=，求BF的长．

【推荐3】如图甲所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为该抛物线的顶点．
（1）如图甲，点为抛物线上，两点间的一动点，连接，，当面积最大时，在对称轴上有一动点，如图乙所示，过点作轴交轴于点，连接，，求的最小值，并求出此时点的坐标；
（2）如图丙所示，将绕着点旋转，得到，在旋转过程中，是否存在某个时刻使以点为顶点的三角形为以为腰的等腰三角形，如果存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
   

【推荐2】对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系．

(1)如图1，点，点P在线段上运动（点P可以与点C，E重合），连接．
①线段的最小值为_____________，最大值为_____________；线段的取值范围是______________；
②点O与线段______________（填“是”或“否”）满足限距关系；
(2)在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且，若线段与满足限距关系，求点G纵坐标的取值范围；
(3)的半径为，点H，K是上的两个点，分别以H，K为圆心，3为半径作圆得到和，若对于任意点H，K，和都满足限距关系，直接写出r的取值范围；

【推荐3】已知⊙O是边长为3的正∆ABC的外接圆，点P为弧AC上一点．

(1)如图1，当BP恰为⊙O的直径时，求BP的长；
(2)如图2，点M在线段BP上，点N在线段CP上，且BM＝CN，连接CM，MN，若∠CMN＝30°，求CM²＋MN²的值；
(3)如图3，延长CP交BA延长线于点E，连接AP并延长交BC延长线于点F．请判断PE·PF是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．