【推荐1】如图1，在中，，是等腰三角形且，，以为顶点作，交边于两点，延长到点，使得，连接．

(1)试说明：；；
(2)如图2，若点是的延长线的一点，是的延长线上的点，点在线段上，其他条件不变，探究线段，，之间的关系，并说明理由．

【推荐2】如图，≌，，，，连接．

(1)求证：是等边三角形；
(2)直接写出当为多少度时，是等腰三角形．

【推荐3】（1）观察理解：如图 1，中，，直线过点，点在直线同侧， ，垂足分别为，由此可得：，所 以， 又 因为， 所以，所以，又因为，所以（     ）；（请填写全等判定的方法）

（2）理解应用：如图2，，且，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积_________；

（3）类比探究：如图 3， 中，,，将斜边绕点逆时针旋转 90至，连接，则的面积=_________ .

（4）拓展提升：如图4，等边中，cm，点在上，且cm，动点从点 沿射线以1cm/s速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转 120°得到线段，设点运动的时间为秒．
①当________秒时，OF∥ED；
②当________秒时，点恰好落在射线上．

【推荐2】已知，如图，在中，．D是上一点，，且，点F 在的延长线上，且．

(1)求证：；
(2)当时，求；
(3)试探究与的数量关系，并说明理由．

【推荐3】△ABC为等边三角形，O为BC的中点，D、E分别在边AB、AC上．如图1．
（1）若∠DOE=120°，求证：OD=OE；
（2）如图2，BD=4，CE=2，M是DE的中点，求OM的长．

【推荐1】如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、．

(1)求证：；
(2)说明；
(3)求的面积．

【推荐2】【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片．在老师的引导下，同学们在边上取中点，取边上任意一点F（不与重合），连接，将沿折叠，点的对应点为．然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点，连接．探究点在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系．

【探究与证明】
（1）如图1，小亮发现：．请证明小亮发现的结论．
（2）如图2、图3，小莹发现：连接并延长交所在的直线于点，交于点，线段与之间存在特殊关系．请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一种情况进行证明．
【应用拓展】
（3）在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将所在直线与所在直线的交点记为，若给出和的长，则可以求出的长．

【推荐3】如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N.
（1） 若CM=x，则CH=           （用含x的代数式表示）；
（2）求折痕GH的长.

【推荐1】在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的“一对平衡点”．如图1，已知点．

(1)设点与线段上一点的距离为，则的最小值是______，最大值是______；
(2)在，，这三个点中，与点是线段的“一对平衡点”的是______；
(3)如图2，已知的半径为1，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是的“一对平衡点”，求的取值范围；
(4)如图3，已知点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点．点（其中是坐标平面内一个动点，且，是以点为圆心，半径为2的圆，若上的任意两个点都是的“一对平衡点”，直接写出的取值范围．
   

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点C是以点为圆心，1个单位长度为半径的圆上一点，点B的坐标为，连接，D是的中点，连接，求的最大值．

   

【推荐3】数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题：
(1)组长提出问题：动点随着t的变化形成的运动轨迹是什么?
甲同学的思考：t取3个特殊值得到3个点坐标，发现3点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线的表达式；乙同学的思考：令，，通过消去t得到y与x的函数关系式．
______（填甲或乙）同学的方法更严谨，点运动轨迹的函数表达式为______；
(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，Q为坐标系内一点且，点M从点A出发以每秒8个单位的速度沿x轴向左运动，同时点N从点O出发以每秒6个单位的速度沿y轴向上运动，点P是MN的中点，设运动时间为t.求点P的运动轨迹的函数表达式，并计算当时PQ的最小值；

(3)老师给出坐标平面内两个动点：，.
丙学说：点T、K的运动轨迹都是直线；丁同学说：点T、K在运动过程中不可能重合；请你判断两人结论是否正确并说明理由．