【推荐1】已知如图，E为矩形ABCD的边AD的中点，连接BE、CE，延长BE、CD相交于F，求证：∠F＝∠ECF．

【推荐2】已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点．

(1)求证：；
(2)判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论．

【推荐3】在正方形中，M是边上一点，点P在射线上，将线段P绕点A顺时针旋转90°得到线段，连接，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若点P，B，D三点共线，，，求的度数；
(3)若，求证：P，Q，C三点共线．

【推荐1】如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．
   

【推荐2】已知矩形中，，的垂直平分线分别交、于点E、F，垂足为O．

(1)如图1，连接、，求证：四边形为菱形；
(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

【推荐3】已知四边形中，，两点分别在，上，且满足．

(1)如图1，当四边形为正方形时，
①求证：；
②求证：；
(2)如图2，当四边形为菱形时，若，试探究，，的数量关系．

【推荐1】如图，正方形中，点E是边的中点，点F在边上，且，与相交于点G．

(1)若，，连接，求证：；
(2)求的度数．

【推荐2】如图1所示，边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点重合，点在对角线上．

【问题发现】如图1所示，与的数量关系为________；
【类比探究】如图2所示，将正方形绕点旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；
【拓展延伸】若点为的中点，且在正方形的旋转过程中，有点、、在一条直线上，直接写出此时线段的长度为________

【推荐3】如图，正方形ABCD中，延长BC至点E，使得点C为BE的中点，连接AC，BD，DE．

(1)求证：；
(2)若，求正方形ABCD的面积．

【推荐1】如图（1），已知正方形，对角线交于点O，点E是线段上的点，以为边作等边（点F在点E上方），连接．

(1)求的度数；
(2)如图（2），当时，设分别交于点G、H．
①求证：；
②求的值

【推荐2】如图1，正方形和正方形，M是正方形的对称中心，交于E．

(1)猜想：与的数量关系为 ___________；
(2)如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且，直接写出：线段与线段的数量关系为 ___________；
(3)如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且，探索线段与线段的数量关系，并说明理由；
(4)如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且，其它条件不变，直接写出的值 ___________．

【推荐3】【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如，小明将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，如图②．从而证明出了DM+BN=MN．

(1)请你按照小明的方法证明：DM+BN=MN；

【类比延伸】
(2)如图③，点N、M分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接数MN，请根据小明的发现给你的启示写出MN、DM、BN之间的数量关系，并证明．