【推荐3】【问题背景】勾股定理是重要的数学定理，它有很多种证明方法
【定理表述】用文字语言叙述勾股定理的内容： 　     　
【定理证明】以图1中的直角三角形为基础，延长到点C，使，过点C作：，使，连接（如图2），则，四边形是以a为底、为高的直角梯形，请利用图2证明勾股定理．

【定理应用】当时，利用图2，可以证明．
证明步骤如下：
如图3，过点A作于点F，则，
又∵，
∴四边形为 　 　，
∴　 　，
∴　 　，
又∵，
∴．

【推荐2】（1）如图1所示，已知线段，则线段长度的最小值为______．
（2）如图2所示，与均为等腰直角三角形，，点在线段上，若，求长．
（3）如图3所示，为等腰三角形，，以为边在其上方作等腰直角三角形，连接，求线段的最小值．

【推荐3】如图1，在正方形中，，点E，F分别在上，于点M，于点N，且．

(1)求证：；
(2)求的长；
(3)在直线右侧以线段为边作等腰直角三角形，，连接，如图2，试判断与的有什么关系？并证明你的结论．

【推荐1】实践与探索：在数学综合与实践课上，老师让同学们以“两个含角的完全相同的直角三角形拼摆”为主题开展教学活动．

(1)将两个三角板较长的直角边靠在一起，拼成了如图1所示的三角形，则是三角形，理由是                      ；
(2)经过拼摆，发现小组认真观察图1，得到了一个结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，并给出了证明的一部分．请将证明过程补充完整．
已知：如图2，是直角三角形，．求证：，
证明：如图3，延长BD至点C，使，连接．
∴．
(3)实验小组受到了发现小组的启发，将图1中的以点D为旋转中心，按逆时针旋转，旋转后得到，如图4所示，与相交于点O，连接．
问题一：求证平分；
问题二：当点A恰好在的垂直平分线上时，则            ．