【推荐1】如图，在湖泊的岸边有A、两点，难以直接度量出A、两点间的距离，请你利用全等三角形的知识设计一种量出A、两点间距离的方案；并说明你这样设计的理由．

【推荐2】如图，和中，边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧，I为和平分线的交点．
   
(1)求证：；
(2)当时，的取值范围为，请求出m，n的值．

【推荐3】如图，点A，B分别在∠DPE两边上，且，点C在∠DPE平分线上．

(1)连接AC，BC，求证：；
(2)连接AB交PC于点O，若，，求PO的长；
(3)若，且点O是的外心，请直接写出四边形PACB的形状．

【推荐1】如图，已知等边三角形的边长为4，建立适当的直角坐标系，并写出各点的坐标．

【推荐2】如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．

【推荐3】长方形纸片中，cm，cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为，求的长.

【推荐1】如图1，将线段平移至，使点与点对应，点与点对应，连接，．
​
(1)填空：与的位置关系为          ；
(2)如图，为延长线上一点，连接，，且，作平分交于点，
①若当，时，求的度数；
②试探究与之间的数量关系，并说明理由．

【推荐2】如图，在中，过点A作于点E，于点F，且．

(1)求证：是菱形；
(2)若，，求AB的长．

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD分别与AE、AF相交于G、H．

（1）在图中找出与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

【推荐1】如图1，点B在线段上，Rt△≌Rt△，，，．
          
（1）点F到直线的距离是_________；
（2）固定△，将△绕点C按顺时针方向旋转30°，使得与重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；
②如图2，在旋转过程中，线段与交于点O，当时，求的长．

【推荐2】已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．

（1）如图1，当∠BAC＜45°时，
①求证：DF⊥AC；
②求∠DFB的度数；
（2）如图2，当∠BAC＞45°时，
①请依题意补全图2；
②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明．

【推荐3】如图，在等腰直角中，，，点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接交于点．

(1)证明：；
(2)①当点F运动到什么位置时，四边形是正方形？请你说明理由；
②当时，求证：点三点共线．