【推荐1】中，于，于，交于点，.
求证：．

【推荐2】（1）已知：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，且，垂足为M，求证：．
（2）如图2，在正方形中，若点E，F分别是延长线上的点，且，连接，交于M．过点E作，使，连接．请探究与的数量关系和位置关系．

【推荐3】在中，，，直线m过点C，分别过点A、B作直线m的垂线段，垂足分别为点D、E.
   
(1)如图1，当点A、B在直线m的同侧时，
①求证：.（推理过程请注明理由）
②直接写出线段的数量关系.
(2)如图2，当点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由.

【推荐1】如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为．

(1)当点D落在上时，x的值为______．
(2)当点D落在上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

【推荐2】如图，在中，，以为直径作⊙交于点D，过点D作．垂足为点E．
   
(1)求证：是⊙的切线；
(2)延长，交于点F，若，，求的长．

【推荐3】已知，平分．
   
(1)如图1将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，现探究、的大小关系：
①特例探究：当三角尺的两条直角边分别与、垂直，垂足为E、F时，依据学过的定理： （写出定理文字表述的具体内容），得到；
②一般探究：当三角尺的两条直角边分别交、于点E、F时，试判断： （填“”、“”或“”）；
(2)如图2，点P是内一点，E、F分别在边、上，，．求证：点P在上；
(3)在（2）的条件下，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知是第一象限的角平分线，若点P的坐标为．
①求点P的坐标；
②过点P作交x轴于点G，交y轴于点H，当点E从点H运动到点O时，则的中点Q运动所形成的路径长为     ．

【推荐1】如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面示意图，量得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板长CD＝6cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转，支撑板BC可绕点B转动．
（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；
（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，再将线段BC绕点B逆时针旋转，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【推荐3】矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10.
（1）求矩形较短边的长；
（2）矩形较长边的长；
（3）矩形的面积．

【推荐1】如图，在矩形中，，，点以每秒个单位的速度从点沿向终点运动（点与点不重合），当点出发后，作，点在直线上，将沿翻折到处，设运动时间为（）．

(1)的长为______；
(2)用含的代数式表示的长度；
(3)当点落在矩形的对角线上时，求的值；
(4)连接，当直线经过矩形的边的中点时，直接写出的值．

【推荐2】已知直线1为长方形的对称轴，，，点E为射线DC上一个动点，把沿直线折叠，点D的对应点恰好落在对称轴1上．
       
(1)如图，当点E在边上时，
①填空：点到边的距离是__________；（直接写出结果）
②求的长．
(2)当点E在边的延长线上时，（友情提醒：可在备用图上画图分析）
①填空：点到边的距离是__________；（直接写出结果）
②填空：此时的长为__________．（直接写出结果）

【推荐3】如图，把矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边上的点B'处，点A落在点A'处；

(1)求证：
(2)求证：．
(3)若，，F为的中点，求的长度．