【推荐2】如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：；
（2）如图2．若，，，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，则的值为______．

【推荐3】在矩形中，，，点E从点A出发，沿边，向点C运动，点A，D关于直线的对称点分别为点，，连接，，．

(1)【初步感知】如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
(2)【深入探究】当点E运动到中点时，连接，求的长；
(3)【拓展运用】当直线恰好经过点C时，求的长．

【推荐1】如图，等腰三角形的腰长，，动点从出发沿向运动，速度为，动点从出发沿向运动，速度为，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点是点关于直线的对称点，连接和，和相交于点．设运动时间为秒．


（1）若当的值是多少时，恰好经过点?
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻，使平分?若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上?若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由．

【推荐2】下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a和线段b
求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC边上的中线为b
作法：如图2
①作射线BM，并在射线BM上截取BC=a
②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D
③以D为圆心，b为半径作弧，交PQ于A
④连接AB和AC
则△ABC为所求作的图形
根据上述作图过程，回答问题：

（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知BC=a，AD=b．
∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，
∴AB=AC（___                                             ）（填依据）
又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D
∴BD=CD（___                                             ）（填依据）
∴AD为BC边上的中线，且AD=b

【推荐3】问题探究

(1)如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，判断的形状，并说明理由．
(2)如图2，在中，，点D为边的延长线上一点，且，过点A作且，连接，求证：．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在x轴上方是否存在一点B，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，过点在的右侧作，且，连接、．

(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)如图2，若三点共线，求点到直线的距离；
(4)直接写出线段的最小值．

【推荐3】问题探究：
如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
   
（1）小明证明的判定理由是______；（填写“”或“”）
（2）的取值范围是______；
方法运用：
（3）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：；
（4）如图3，在中，为的中点，．求证：．

【推荐1】［问题发现］

(1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系；
［实验研究］
(2)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；
［结论运用］
(3)在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长．

【推荐2】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．
(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN
(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系              
(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．

【推荐3】（一）问题情境：如图1，已知点E，F分别在正方形的边，上，且，点M为的中点，连接，．

（1）线段与之间的数量关系是________，位置关系是________．
（二）猜想证明：
（2）如图2，将线段和绕点B逆时针旋转，旋转角均为（）．点M为线段的中点，连接，请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（三）探索发现：
（3）将图1中的线段和绕点B逆时针旋转，旋转角为，点M为线段的中点，得到如图3所示的图形，请你判断线段与之间的数量关系是否发生变化，请说明理由．