【推荐1】已知，如图，二次函数（）图象的顶点为，与轴交于、两点（在点右侧），点，关于直线对称.
   
（1）坐标为          ；坐标为：          ；坐标为          ；
（2）求二次函数解析式；
（3）在直线上是否存在一点，使得最大？若不存在，请说明理由：若存在，请求出此时的面积；
（4）过点作直线交直线于点，，分别为直线和直线上的两个动点，连接、、，求和的最小值.

【推荐2】（1）发现：如图1，点为线段外一动点，且，，当点位于      时，线段的长取得最大值，最大值为       （用含的式子表示）；
（2）应用：如图2，点为线段外一动点，，，以为边作等边，连接，求线段的最大值；
（3）拓展：如图3，线段，点为线段外一动点，且，，，求线段长的最大值及此时的面积．

【推荐1】已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．

【推荐2】如图，是等边三角形，点D是射线上的一动点（不与点A，B重合），连接，在的右侧以为斜边作，且，交于点F．

(1)如图1，当点D是边的中点时，线段与线段的数量关系是     ；
(2)如图2，当点D是边上任意一点时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若，当，请直接写出的长．

【推荐3】如图，在中，，，，是对角线，E为边的中点．点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，在线段的延长线上取一点Q，使，以为斜边向其右侧作，使．连接，作点A关于的对称点，连接，设点P运动的时间为t秒（）．

(1)的长为______．
(2)用含t的代数式表示线段的长．
(3)当点在边上时，求与重叠部分图形的面积；
(4)当时，直接写出t的值．

【推荐1】问题背景：如图（1），在矩形中，过作于，交于，图中与相似的三角形有多个，试写出其中一个三角形并证明．
尝试运用：如图（2），在四边形 中，，点为上一点，过点作交的延长线于点，交于点，求证：．
拓展创新：如图（3），在四边形中，，，，点，分别在边，上，连接，．若，求的值．

【推荐2】如图，，，动点D始终满足．

(1)求的度数；
(2)连接，点E是的中点，判断、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，求的最小值．

【推荐3】如图，在中，，，，动点从点出发以秒1个单位长度的速度沿向终点运动（点不与点、重合），以为边在上方作等腰，使，，将绕的中点旋转得到，设四边形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．

（1）的长为______，点到的距离为______；（用含的代数式表示）
（2）当点在边上时，求的值；
（3）当四边形与重叠部分为四边形时，求与的函数关系式；
（4）作点关于直线的对称点，点为的中点，连结，当与的边垂直时，直接写出的值．

【推荐2】定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等．
例如：如图1，在中，如果是边上的中线，那么和是“朋友三角形”，则有．
应用：如图2，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．

(1)求证：和是“朋友三角形”．
(2)如图3，在四边形中，，//，，，点在上，点在上，与交于点，．
①求证：和是“朋友三角形”；
②连接，若和是“朋友三角形”，求四边形的面积．
(3)在中，，，点在线段上，连接，和是“朋友三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，则的面积是________（请直接写出答案）．

【推荐3】如图1，在菱形ABCD中，AB=，∠BCD=120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN=CD，连接CM、AM、BN.
（1）当∠DCM=30°时，求DM的长度；
（2）如图2，延长BN、DC交于点E，求证：AM·DE=BE·CD；
（3）如图3，连接AN，则AM+AN的最小值是             .