【推荐1】在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上．若点，在线段上，且为某个一边与轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点，的“伴随矩形”．下图为点，的“伴随矩形”的示意图．
（1）若点，点的横坐标为，则点，的“伴随矩形”的面积为 　　；
（2）点，的“伴随矩形”是正方形．
①当正方形面积为4，且点到轴的距离为3时，写出点的坐标，并求出直线的函数解析式；
②当正方形的对角线长度为时，原点与所有正方形上各点所连线段的长记为，直接写出的取值范围．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别相交于B、A两点，点C是的中点，点E、F分别为线段、上的动点，将沿折叠，使点B的对称点D恰好落在线段上（不与端点重合）．连接分别交、于点M、N，连接．

(1)求的值；
(2)试判断与的位置关系，并加以证明；
(3)若，求点D的坐标．

【推荐3】如图1，已知在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标是，动点从点出发，沿线段向终点运动，同时动点从点出发，沿线段向终点运动．点，的运动速度均为1个单位/秒，运动时间为秒．过点作交于点．

（1）求直线的解析式；
（2）在点，的运动过程中，当为直角三角形时，请求出的值；
（3）在动点运动的过程中，在矩形内（包括边界）是否存在一点使以，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，点在轴上，点，点在轴上，点在第一象限，且与均为等边三角形，点坐标为，点为线段上一动点，点为直线上一动点，且，连接．
   
(1)填空：写出点、点的坐标，点______；点______；
(2)试判断的形状，并给予证明；
(3)直接写出长度的最小值以及此时点的坐标；
(4)将条件改为“点为延长线上一点”，其他条件不变，的形状是否发生变化？在图2中画全图形（不必证明），直接写出当点坐标为时，的长度以及此时点的坐标．

【推荐1】如图．直线与x轴、y轴分别交于点E、F，x轴上有一点A的坐标为．

(1)求的长；
(2)若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出的面积S与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(3)若点P是该直线上的一个动点，则当点P运动到什么位置时，，请说明理由．

【推荐2】如图，在中，，的平分线交于点，以为圆心，长为半径作．
（1）求证：是的切线．
（2）设与切于点，，连接，，．
①当__________时，四边形为菱形；
②当__________时，为等腰三角形．

【推荐3】如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边有公共点，且．

(1)求证：是的切线：
(2)若，，求的半径．

【推荐1】问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=2，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．

(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①=______ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 _______．
(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
(3)根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程_______．（结果保留π）

【推荐2】△ABC是等边三角形，P为其内的一点，并且满足PA=25，PB=7，PC=24，试求∠CPB的度数？

【推荐3】如图①，在平面直角坐标系中有一个，点两点在坐标轴上，其中，，，将该三角形沿直线翻折得到．

(1)点A的坐标为______，点的坐标为______，边所在直线的函数表达式为_____．
(2)在图①中，一动点P从点O出发，沿折的方向，以每秒2个单位长度的速度向点运动，设运动时间为t秒．请求出的面积与t之间的函数关系，并求出当t为何值时，的面积为面积的．
(3)如图②，固定，将绕点逆时针旋转，旋转后得到，设所在直线与所在直线的交点为点．请问在旋转过程中是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由．