【推荐1】如图，内接于半圆，是直径，过作直线，使．

(1)求证：是半圆的切线；
(2)已知弧的中点，要求过作于．（尺规作图，保留作图痕迹）
(3)若，，求．

【推荐2】如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：CF＝EF+BE．

【推荐3】（1）计算：；
（2）如图，在菱形中，，的垂线交于点P，交的延长线于点E．求证：．
   

【推荐1】某＂综合与实践＂小组开展了测量本校教学楼高度的实践活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该教学楼底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．

课题	测量教学楼的高度
成员	组长：×××       组员：×××，×××
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量 示意图	说明：线段表示教学楼，测量角度的仪器的高度，测点，与点在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，在同一直线上，点在线段上．
测量数据	测量项目	第一次	第二次	平均值
	的度数	29.9°	30.1°	30.0°
	的度数	15.2°	14.8°	15.0°
	点，之间的距离	30.9m	30.7m

(1)两次测得，两点之间的距离平均值为_____________m．
(2)根据以上测量数据，请你帮助＂综合与实践＂小组求出教学楼的高度．

【推荐3】如图，等边△ABC中， AO是∠BAC的角平分线， D为 AO上一点，以 CD为一边且在 CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE．       
（2）延长BE至Q， P为BQ上一点，连接 CP、CQ使 CP=CQ=5，若 BC=6，求PQ的长．       

【推荐1】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、、于点E、O、F，连接和．
   
(1)求证：四边形为菱形：
(2)若，求菱形的周长．

【推荐2】已知等腰△ABC中，∠BAC=90°，BC=4，P为BC上一动点，∠MPN=45°，PM、PN分别与AB、AC交于点E、F，且PM⊥AB，BE=x.

(1)若P点在BC上运动，求四边形AEPF的面积（用x的代数式表示）并写出x的取值范围
(2)当点P在BC上运动时，△EPF能否为直角三角形，若能，请写出此时x的值；若不能，请说明理由.

【推荐3】（1）【问题发现】
如图1，在中，，为边上一点（不与点、重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系是      ，位置关系是      ；
（2）【探究证明】
如图2，在与中，，，将绕点旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段，，之间的等量关系，并证明；
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形中，．若，，请直接写出的长．

【推荐1】[阅读]
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)为端点的线段的中点坐标为
[运用]
（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________；
（2）在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(l，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

【推荐2】如图，在中，过点A作交的延长线于点E过点D作，交的延长线于点F．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．

【推荐3】如图，矩形ABCD中，，，的平分线交边AD与点E，交CD延长线于点F．点P从点B出发以的速度沿射线BE方向运动．过点P作于Q，点N在BP延长线上，且．以PQ、PN为邻边作平行四边形PQMN，当点N与点F重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t（s），平行四边形PQMN与矩形ABCD重合部分的面积为．

(1)直接写出线段AE的长；
(2)当点N与点F重合时，求t的值；
(3)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．