综合与探究
问题情境：如图，已知
为
的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线
，过点A作
于点D，连接
．
(1)探究发现：证明：无论点C在何处，将
沿
折叠，点D一定落在直径上；
(2)探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若
是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，
与存在数量关系，请写出结论并证明；
(3)探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：
______．
问题情境：如图，已知
为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接． (1)探究发现：证明：无论点C在何处，将
沿折叠，点D一定落在直径上；(2)探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若
是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明；(3)探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当
为正三角形时，与存在的数量关系是：______．
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更新时间：2023-07-19 10:22:28
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
【推荐1】如图①，在平面直角坐标系
中，
、
，C为y轴正半轴上一点，且
．
(1)求
的长．
(2)如图②，点P从点A出发，沿射线方向运动，同时点Q从点B出发，沿射线方向运动，在运动过程中；
①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当
是直角三角形时，求t的值；
②在①的条件下，当是等腰三角形时，求点P的坐标．
中，、，C为y轴正半轴上一点，且． (1)求
的长．(2)如图②，点P从点A出发，沿射线
方向运动，同时点Q从点B出发，沿射线方向运动，在运动过程中；①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当
是直角三角形时，求t的值；②在①的条件下，当
是等腰三角形时，求点P的坐标．
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解答题-证明题
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】【问题原型】
如图①，以BC为边分别作
和
，点A和点D在直线BC的两侧，连结AD交BC于点O．
若
，易证：
（不用证明）．
(1)如图②，若AD与BC不垂直，（1）中结论是否成立，请说明理由．
(2)【变式探究】如图③，以BC为边分别作和，点A和点D在直线BC的同侧，连结AD并延长，交BC于点O．若
，
，
，则
______．
(3)如图④，以的AC边为直径作
，∠ACB的平分线交于点P连结PB、PC．若
，则
______．
如图①，以BC为边分别作
和，点A和点D在直线BC的两侧，连结AD交BC于点O．若
，易证：（不用证明）．(1)如图②，若AD与BC不垂直，（1）中结论是否成立，请说明理由．
(2)【变式探究】如图③，以BC为边分别作
和，点A和点D在直线BC的同侧，连结AD并延长，交BC于点O．若，，，则______．(3)如图④，以
的AC边为直径作，∠ACB的平分线交于点P连结PB、PC．若，则______．
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和
的平分线相交于点O，过点O作
，交
，求
的周长．
于点H，连接
，如图2．当
时，试探究
与
解答题-证明题
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适中
(0.65)
【推荐1】在
中，
，将绕点A顺时针旋转一定的角度
得到
，点B，C的对应点分别是E，D．
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求
的度数；
(2)如图2，若
时，点F是AC的中点，且
，求证：
①
；
②四边形BFDE是平行四边形．
中，，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，点B，C的对应点分别是E，D．(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求
的度数；(2)如图2，若
时，点F是AC的中点，且，求证：①
；②四边形BFDE是平行四边形．
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解答题-证明题
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适中
(0.65)
【推荐2】如图，
是圆内接四边形
的对角线，
于点
平分
．
(1)求
的度数；
(2)点
在
的延长线上，
是该圆的切线．
①求证：
是该圆的切线；
②若
，直接写出
的长．
是圆内接四边形的对角线，于点平分． (1)求
的度数；(2)点
在的延长线上，是该圆的切线．①求证：
是该圆的切线；②若
，直接写出的长．
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，
，P是OA上任意一点，BP的延长线交
；
，求PC的长．
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适中
(0.65)
名校
【推荐1】[阅读]
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为
[运用]
（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________；
（2）在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(l，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为
[运用]
（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________；
（2）在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(l，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
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(0.65)
【推荐2】如图1所示的是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到它的侧面简化结构图，如图2所示，支架与坐板均用线段表示，若坐板
平行于地面
，前支撑架与后支撑架分别与坐板于点E，D，现测得
，
，
，
．
（1）求椅子的高度（即椅子的坐板与地面之间的距离）；
（2）求椅子两脚B，C之间的距离．（计算结果精确到1
）（参考数据：
，
，
，
，
，
）
平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与坐板于点E，D，现测得，，，．（1）求椅子的高度（即椅子的坐板
与地面之间的距离）；（2）求椅子两脚B，C之间的距离．（计算结果精确到1
）（参考数据：，，，，，）
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
名校
【推荐1】如图，中，
，
为上一点，以为圆心，以为半径的与相切于点
，交于点
，过作的切线，交于点
．
，用含的代数式表示
；
(2)若
，求
的长．
中，，为上一点，以为圆心，以为半径的与相切于点，交于点，过作的切线，交于点．
，用含的代数式表示；(2)若
，求的长．
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解答题-证明题
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】如图，内接于半圆，是直径，过
作半圆切线．
（1）求证：
；
（2）设是弧的中点，连接
交于
，过作
于，交于．求证：
；
（3）在（2）的条件下，
的面积为4.5，且
，
，求
的面积．
内接于半圆，是直径，过作半圆切线．（1）求证：
；（2）设
是弧的中点，连接交于，过作于，交于．求证：；（3）在（2）的条件下，
的面积为4.5，且，，求的面积．
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